基于最大Lyapunov指数的混沌时间序列预测方法

混沌轨道具有对于初值的敏感性，即从两个相邻的初始条件出发的两条轨道之间的距离将随时间指数而增加，这种敏感性可以用Lyapunov特征指数定量地描述。对多维的动力学系统来说，若最大Lyapunov指数是正的，则可认为系统一定是混沌的。因此，时间序列的最大Lyapunov指数是否大于零可以作为该序列是否是混沌的一个判据。这种方法比较准确，它给出了一个定量的标准。

目前计算Lyapunov指数的数值方法常用的有定义法、Wolf方法、Jocobian方法和p范数方法。计算最大Lyapunov指数，可用Nicolis方法或小数据量方法。

由混沌动力学理论可知，Lyapunov指数刻画了相空间中相体积收缩和膨胀的几何特性。因此，Lyapunov指数作为量化对初始轨道的指数发散和估计系统的混沌量，是系统的一个很好的预测参数。Wolf等根据在混沌时间序列重构相空间中，邻近轨道之间的距离随时间演化呈指数形式分离的研究成果，提出根据最大Lyapunov指数进行预测的混沌时间序列预测方法。其思想是在历史时间序列样本中寻找相似点，根据相似点的演化行为和最大Lyapunov指数的物理意义，运用一定的数学模型获取预测值。

设λ1为系统最大Lyapunov指数，X（t）是中心点，X（tn）是X（t）最近邻的点，令X（t）与X（tn）间的欧氏距离为d，则

X（t）与X（tn）经1步演化分别成为X（t+1）与X（tn+1），根据最大Lyapunov指数的物理意义，可得

式中：n为相点总数。

式（4.30）即为一维Lyapunov指数预测模式。(www.xing528.com)

具体算法如下：

（1）根据GP算法和Takens定理求得系统的嵌入维数m和时间延迟τ，得到重构相空间：

X（t）=﹛x（t），x（t—τ），…，x[t—（m—1）τ]﹜

（2）计算最大Lyapunov指数λ1。

（3）寻找中心点X（t）的临近状态X（tn），并计算d=‖X（t）—X（tn）‖。

（4）由公式计算x（t+1），并根据某种约定规则对根进行取舍。