混沌时间序列预测方法：全局多项式建模预测法

全局预测法是建立在相空间重构基础上的，其基本思想是用重构相空间中的所有状态点拟合出一个光滑函数作为预测模型，由此预测轨迹的走向。

假设重构后的相空间状态向量为X（t）=﹛x（t），x（t—τ），…，x[t—（m—1）τ]﹜，由于原混沌系统的动力学方程的形式一般未知，所以通常根据给定的数据构造映射F，用F逼近非线性预测函数，使得

达到最小值。

全局预测法通常可分为全局多项式建模预测[18～24]以及神经网络建模预测等[25～27]。神经网络预测方法将在第5章详细介绍，因此本节只介绍全局多项式建模预测方法。

当相空间维数较低时，可以采用高阶多项式进行全局逼近。根据Weierstrass定理，对任意定义在有界闭区间的连续函数，总可以用一个多项式来逼近，且当多项式阶数趋于无穷时两者之间误差渐进为零。这就在数学上保证了该方法的可行性。而当维数较高时，用高阶多项式拟合重构相空间轨迹的计算量很大，为了简化计算一般用一阶线性模型，即典型的自回归分析：

其中ξt可看作一个服从N（0，1）分布的高斯随机变量，k是一个较小的常数因子，用来调整随机性引入的强度。(https://www.xing528.com)

从时间序列本身来求出ai，（i=1，2，…，N），并且尽量使得随机输入部分的影响最小，则要求系统的ai使得下面的误差平方和最小：

对每一个ai求偏导并令其等于零，则有

变形得到

其中C（i—j）、C（j）是自相关函数，根据上式可以求出系数ai，（i=1，2，…，d）。再考虑随机输入部分，可令k=。

全局预测法一般计算比较复杂，尤其是当嵌入维数很高或F很复杂时；并且对较高嵌入维数的系统，预测精度会迅速下降。全局预测法一般适用于F不是很复杂，同时噪声干扰比较小的情况。在实际应用中，数据有限，相空间轨迹非常复杂，一般很难求出真正的映射F，所以全局多项式预测法不太适合实际应用。