基于奇异谱和主分量分析的去噪方法

Broomhead和King首先将奇异谱分析技术应用于动力系统理论中[21]，Vautard等对奇异谱分析在动力系统中的应用作了进一步的研究[43]。该方法的主要思想是对重构后的相空间进行奇异值分解，得到的按序排列的奇异值中，只有前面几个较大的值代表信号的特征部分，而其余较小的则代表噪声部分，取代表特征部分的奇异值对应的特征向量进行信号的反重构，得到去噪后的信号。对于到底有哪些奇异值代表信号的特征部分，亦即主分量的截断问题，不同的方法有不同的处理方式。

刘元峰、赵玫等人将这一思想用于对混沌信号的去噪研究，他们所采用的截断方式是先假设数据中包含的噪声是人为引入的白噪声信号，利用白噪声和确定性的混沌信号奇异谱之间的差别来选择截断的位置[44]。其实现方法如下：

假设观测到的时间序列为y（t）=x（t）+w（t），t=1，2，…，N，N 为时间序列长度，用Takens嵌入定理法重构相空间矩阵Y。对Y 进行奇异值分解，可以得到由大到小排列的j个奇异值s1≥s2≥…≥sm，记

称S1≥S2≥…≥Sm为系统的奇异谱，它表示各个状态变量在整个系统中所占能量的相对关系。在这些奇异谱中只有前面的若干个较大值代表着信号的特征部分，而其余较小的值，则对应着信号中的噪声成分。利用时间序列yi构建延时—协变矩阵Tx

式中：c（j）为延时为j时y（n）的协方差；M 为嵌入维数。

c（j）可以由下式得到

矩阵Tx是一个非负的对称矩阵，因此其特征值也非负，即e1≥e2≥…≥eM＞0，这些特征值对应的特征向量Ek称为经验正交函数（以下简称EOF），第k个主分量（以下简称PC）定义为原始序列y（t）在第k个经验正交函数Ek上的正交投影系数。(www.xing528.com)

从频谱分析的角度看，一个EOF对应着一个自适应滑动平均滤波器，而每一个PC都是原始序列的某种滤波后的结果。前面较大特征值PC代表信号的特征成分，而后面一些较小的PC主要代表噪声的成分。因此可以考虑用奇异谱分析的方法来进行混沌信号的降噪，用那些反映信号特征成分的PC来重构信号，就可以达到降噪滤波的目的。

用这个方法进行信号降噪处理时需要注意主分量的截断问题，也就是选择哪些主分量来重构信号。选用的主分量太少，会丢失部分信号的特征信息，而选择的太多，则又会包含过多的噪声成分。目前一般都是由研究者人为选择，不可避免含有主观因素。因此，问题的关键就是如何从实际观测值y中有效地提取出x。假设用前p个PC和EOF来重构信号，而由剩余的PC和EOF重构出噪声，问题的关键在于如何准确确定阶次p。如果假设信号中的噪声为白噪声，可以利用白噪声的一些性质来建立一个判断准则。由白噪声序列采用时间延迟法构造的向量空间进行奇异值分析时，白噪声的性质决定了其各个奇异值应该是近似的，也就是说白噪声的奇异谱图应该是平坦的。而如果一个时间序列中包含由确定系统产生的成分时，使用奇异值分析应该只有前有限个奇异值比较大，这些奇异值反应了信号中的特征成分，而其余的那些较小的奇异值就构成了所谓的噪声平台，反映了信号中的噪声成分。

孟建、屈梁生等同样利用奇异谱去噪的思想进行了研究[45]，引入两个指标——噪声残余能量和信号畸变指标，通过使这两个指标同时达到最小来确定主分量的截断位置。具体实现时，首先确定嵌入维数m，即进行相空间重构，然后确定代表特征部分的主分量个数p的最大可能范围，对这一范围内的每一个p值计算相应的噪声残余能量指标和信号畸变指标，其中使这两个指标乘积最小的p值就是所求的最佳p值。

按这样的方法确定的p值，在压缩噪声的迭代过程中是随着迭代次数的不同而在不断变化的。在用主分量分析压缩噪声的整个过程可以表示为

其中，Y是包含噪声的序列；X（i），i=1，2，…，k是第i次迭代后的噪声压缩结果，Mi，i=1，2，…，k是第i次迭代中所选择用于重构的主分量数目。这样一个过程很像一条链子，因此称它为噪声压缩链。

基于奇异谱和主分量分析的去噪方法最大的优点就是不需要预知系统的动力学模型，这在实际应用中是很重要的，因为在实际观测到的时间序列几乎都无法获取真实的动力学模型，也就无法得到不含噪声的干净的吸引子轨道。但是这种方法假设序列中包含的噪声是奇异谱比较平缓的白噪声，而实际的系统中包含的既有白噪声，又有有色噪声，因此这种方法还有一定的局限。