设含噪声数据为y（t），复原信号x（t），噪声信号为w（t），y（t）=x（t）+w（t）。此时对信号y（t）用母小波ψ（t）的伸缩和平移ψjk（t）作二进离散小波变换其系数可以表示为
式中：〈·〉表示作内积运算；
（t）为ψjk（t）的复共轭函数；j为尺度，表示小波的周期长度；k为时间因子，反映小波在时间上的平移。
y（t）经小波变换后系数为yjk=xjk+wjk，对于均值为0，方差为σ2的广义平稳白噪声：
其数学期望为E（|wjk|2）=2—jσ2‖ψ‖2，可以证明，白噪声的局部模极大值点的密度为：
式中：ψ（1）、ψ（2）分别为ψ（t）的一阶、二阶导数。
因此，白噪声的分布几乎处处奇异，且其模极大值平均密度随着尺度的增大而减小。而信号的奇异性与Lipschitz指数α之间在二进小波变换下的关系为[36]
式中：A为常数。
对期望两边取对数则变为
由以上分析可知，当α＞0时，小波变换的模极大值随尺度的增大而增大，当α≤0时，小波变换的模极大值随尺度的增大而减小。通常情况下，混沌信号的α＞0，所以其小波变换系数模极大值随着尺度的增大而增大；而噪声的α＜0，其小波变换系数的模极大值随着尺度的增大而减小。因此可以由小波变换模极大值的衰减来判别信号变换尺度范围的取舍，除去主要由噪声控制的频带。在各个尺度上选取不同的阈值，小于该阈值的模极大值点认为是由噪声的小波变换引起的，将其置为零；大于该阈值的模极大值点则认为是由信号的小波变换引起的，予以保留。在此基础上通过小波逆变换重构信号，从而达到求取真实信号的目的。
基于以上分析原理，小波变换噪声平滑方法的基本过程是先对含噪声信号进行小波分解，则噪声部分通常包含在高频中，因而可通过门限阈值等形式对小波系数进行处理，最后对小波系数进行反重构即可得到滤波后的信号，其实质是抑制信号中无用的部分恢复信号中有用的部分。
通常，基于小波变换的混沌信号噪声平滑过程包括三个步骤：
（1）对含噪声信号进行J尺度分解。选取恰当的小波基母函数并确定分解的层次，进行分解计算。(www.xing528.com)
（2）小波分解高频系数的阈值量化。对各个分解尺度下的高频系数选择一阈值进行阈值量化处理，将低于该阈值的小波系数置为0，而对高于该阈值的小波系数予以保留。
（3）小波重构。根据小波分解的最底层低频系数和各层高频系数进行小波重构，从而得到噪声平滑后的信号为ŝ=﹛ŝ（t）﹜。
在以上三个步骤中，最关键的是如何选择阈值和如何进行阈值量化，从某种程度上来讲阈值选取直接关系着噪声平滑的效果。阈值选取过高，将会过多的将信号当作噪声去掉；阈值选取过低，则保留的噪声信号过多，影响信号的进一步分析。一般来讲，阈值量化分硬阈值和软阈值两种方式。设选取的阈值为λ，则硬阈值方法为
式中：ajk为小波系数估计；βjk为在尺度j上第k层含噪声信号的小波系数，k=1，2，…，nj，（nj=N/2J—j+1，N 为信号长度）。
软阈值方法为这两种阈值形式在一定程度上都得到了广泛的应用，但是硬阈值方法的小波系数估计在λ处是不连续的，重构的信号可能会产生振荡，因此，一般选用软阈值形式。1995年Donoho和Johnstone[19]提出了一种广义阈值选取方法，即
式中：
为噪声水平估计，
=m/0.6745；m为最高尺度J的小波系数绝对变差中值，N 为信号的长度。
该阈值考虑了不同频率的小波系数特性，适用于低信噪比的情况。
赵瑞珍等[37]采用改进的阈值：
式中：j为周期尺度；λj为相应尺度的阈值；σ为信号在最高尺度上的方差。
当对含噪声的混沌信号进行小波变换时相当于将其分解在不同的子频带上，由于混沌信号和噪声的频带往往叠加在一起，仅从尺度角度选择阈值将会使得部分噪声信号滞留其中，而有效信号却被认作是噪声信号被滤除。因此需要根据混沌信号内在的特点综合考虑小波分解和阈值选取方法，以得到更好的噪声平滑效果。
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