小波变换与相空间重构-混沌时间序列预测理论方法

函数线性空间为

设f（t）∈L2（R），若函数ψ（t）的傅里叶变换ψ（ω）满足条件

称ψ（t）为基小波或小波母函数，则f（t）的连续小波变换为

式中：（t）是ψ（t）的复共轭函数，称式（3.28）为小波函数可容许性条件；Wf（a，b）为由小波母函数ψ（t）进行伸缩和平移变换得到的系数；a为尺度因子（又称伸缩因子）；b为平移因子。

在实际应用中，尤其是在计算机上实现时，需要将连续小波离散化，以找到相互正交的基函数，去掉小波系数之间的自相关性[35]。通常取a=aj0（j为整数，a0≠0，一般取a0=2）；而位移参数b可取均匀离散的值，以便ψ（t—kb0）（k为整数）能覆盖整个时间轴且避免信息不丢失。因为采样时间间隔Ts需要满足香农定理，即采样频率大于该尺度下频率通带的二倍，每当j增加1，尺度参数a增加一倍，对应的频带减少一半。所以，若尺度j=0时的间隔为Ts，则在尺度参数为2j时的间隔可取为2jTs，对应的离散小波函数可写为

为了简化起见，往往把t轴用Ts归一化，式（3.4.4）即变为

即为离散化后的小波函数。因此，f（t）的离散小波变换可以表示为

式中：〈·〉表示内积运算；（t）为ψjk（t）的复共轭函数。

可见，小波具有自适应变化的时频窗口。a较大时，窗口呈“瘦窄”状，符合高频信号的局部时频特性；a较小时，窗口呈“扁平”状，符合低频信号的局部时频特性，从而实现了对函数或信号序列的多尺度细化分析。

相空间重构是利用系统过去的信息来构造系统的状态，在仅仅测量到单变量时间序列的情况下，能有效地表征动力学系统深层自变量的变化。而混沌信号的小波变换其物理本质就是在重构相空间中，混沌吸引子向小波滤波器向量所张的空间中的投影[13，14]，与Packard和Takens等提出的相空间重构理论在本质上是一致的。设离散混沌信号为x1，x2，…，xN，设Vj是L2（R）的子空间，Wj是Vj在Vj+1中的补子空间，则小波变换可得平滑近似信号skj∈Vj和细节信号dkj∈Wj：

(www.xing528.com)

式中：j为各阶小波变换的时间尺度；h和g分别为低通和带通滤波器系数；k=1，2，3，…，N。

上式的向量形式为

式中：H=[h—M，…，h—1，h0，h1，…，hM]，G=[g—M，…，g—1，g0，g1，…，gM]，分别为低通和带通滤波器向量，M 决定了小波滤波器的长度。

由于在计算式（3.33）时，尺度为j时的平滑逼近信号和细节信号是由尺度为j—1时的信号按间隔τj=2j—1进行抽取再与滤波器系数相乘的，把式（3.34）变为矩阵形式，即为

式（3.35）的第i个向量可以写为

比较相空间重构式和式（3.36），二者具有相似的结构，式（3.36）即为原混沌序列在相空间中重构的结果，只是延迟时间τj随着尺度j而变化。因此对离散混沌信号进行离散小波变换，可以获得多个尺度的平滑信号和细节信号，事实上，这些信号就是原始信号在相空间重构后，按尺度由小到大依次向滤波器向量H和G投影的结果。

为了形象地说明小波变换与相空间重构的关系，以Lorenz系统为例进行分析。其混沌动力学方程组为

其中，σ=10，γ=28，b=8/3。此时，系统展现混沌性态。设定步长为h=0.01，用4阶RungeKutta法进行积分迭代求值运算，取x方向的5000个点作为研究对象，其二维相图如图3.4（a）所示。经小波变换后，取d1尺度上的信号与平滑近似信号s1组成相图如图3.4（b）所示。

图3.4　Lorenz系统x（t） 序列小波变换前后的相图

（a）x（t）序列二维重构；（b）x（t）小波变换d1尺度的相图

可以看出，两个重构图在几何结构上很相似。事实上，从表达式（3.35）中也可以看出混沌信号小波变换的每一个分量为重构向量式（3.35）各分量的线性组合。因为系统的线性变换不会改变系统原有的动力学特性，因此混沌时间序列的小波变换与相空间重构在拓扑结构上等价的。同时也可以得出这样的结论：对含噪声的混沌信号进行处理，相当于不含噪声的信号和噪声信号分别向滤波器向量投影，然后滤波，最后叠加到一起。因此，如果选择合适的阈值可以很好地滤除叠加其上的噪声。