去噪效果评判标准：提升混沌时间序列预测方法

在进行混沌信号去噪时，存在的一个基本问题是如何证实并量化在数据中被去除的噪声。这需要考虑包含在输入信号中的噪声的特性。当数据是由确定性部分与随机噪声叠加组成时，可以通过测试信号是否变更而确定，或通过计算某些量化指标来确定。

首先引入两个测量误差来量化去噪方法的效果[3]。第一个误差是输入输出误差。若干净的信号是已知的，去噪后的输入输出误差定义为去噪后的时间序列y（t）与原始纯净信号x（t）之间的欧氏距离：

当准确的动力学演变方程X（t）=f[X（t—1）]已知时，还可以计算动力学误差。

此误差给出了系统的确定性演变结果与实际值之间的偏差。通过比较去噪前后的e0或edyn就可以判断去噪的效果。

上述误差主要是针对原始的轨迹或动力学模型已知的情况。当然，用这些偏差去度量去噪方法的好坏有时并不是十分准确的。例如，某些数据去噪后的结果可以被认为是原动力学系统中由不同参数值所产生的一个干净的序列；有些时候去噪算法会对序列中的数据做综合的调整（例如当噪声具有非零均值时），从而导致e0和edyn都很大。然而，在这种情况下，这样的去噪算法依然被认为是有效的，依然认为去噪后的时间序列与去噪前相比包含较少的噪声，只是先前的动力学系统某些参数被作了较小的调整[3]。

e0和edyn的主要缺点是只能应用在模型或时间序列已知的情况下，如果既没有无噪声的数据样本也没有准确的动力学方程，这时需建立一个更客观的量化标准，建立一个只与实际得到的观测数据有关的准则。前面已经提到了噪声水平是描述信号中包含噪声大小的量，因此可以通过已有的一些估计噪声水平的方法来对序列中的噪声水平进行估计，运用这些方法可以证实去噪是否成功，通过在去噪前后估计噪声的振幅来判断去噪的效果。当然，在噪声被压缩到一定程度的时候，噪声水平的估计变得不准确了。在这种情况下可以给出剩余噪声水平的上限，以证明去噪是否成功[3]。

另外，也可以利用混沌吸引子所表现出的一些特性来判断去噪效果的好坏，通过分析去噪前后一些特征量如关联维数、Lyapunov指数等，来检验去噪算法是否有效的去除了隐藏在混沌信号中的噪声，是否保留了原信号的有效信息。较为常用的方法通常有关联维数法、伪邻近点法、最大Lyapunov指数法等。下面逐一详细介绍。

1.关联维数方法

奇异吸引子是轨道在相空间中经过无数次靠拢和分离并来回拉伸和折叠形成的几何结构，具有无穷层次的自相似结构。由于耗散系统运动在相空间的收缩，使奇异吸引子的几何性质可以通过研究它的空间维数来确定，非线性系统的相空间可能维数很高，而吸引子的维数一般都低于相空间的维数，利用Takens嵌入定理可以将单变量时间序列重构成一个相空间，即只要嵌入维数足够高（一般要求m≥2d+1，d为吸引子维数），就可以在拓扑等价的意义下恢复原来的动力学特性。1983年，Grassberger和Procaccia提出了由时间序列计算吸引子的关联维数的G-P算法[30]。对混沌时间序列x（t），将其用Takens嵌入定理进行时延重构，可以得到一组空间向量X（t）=﹛x（t），x（t+τ），…，x[t+（m—1）τ]﹜，t=1，2，…，L，其中L=N—（m—1）τ，对于相空间中的L个点，计算其有关联的向量对数，这里规定凡是距离小于给定正数r的向量，皆称为有关联的向量。向量的距离一般有两种表示方法——2范数和∞-范数，这里选用∞范数计算，即以两向量的最大分量差作为距离计算有关联的向量对数，它在一切可能的N2种配对中所占的比例称为关联积分：

式中：r为阈值；θ为Heaviside单位函数：

当r→0时关联积分Cn（r）与r存在以下关系：

式中：D即是关联维数。

恰当地选取r，使得D 能够描述混沌吸引子的自相似结构，由上式可得

在实际数值计算中，通常给定一些具体的r值（r值充分小），如果r值取得太小。低于环境噪声和测量误差造成的矢量差别，由上式算出的就不是关联维数而是嵌入维数。通常的做法是让嵌入维数从小到大的增加，对每个嵌入维数取双对数关系logCn（r）～logr中的直线段，用最小二乘法拟合出一条最佳直线，该直线的斜率称为关联指数，关联指数会随着嵌入维数的增加而增大，最后到达一饱和值，这个饱和值就是D，而达到饱和值时的嵌入维数就是能够完全展开吸引子结构的最小嵌入维数。(www.xing528.com)

对于混沌序列，关联指数一定会随着嵌入维数的增大而达到饱和值（关联维数），而对于噪声序列，关联指数会随着嵌入维数的增加而不断增大，如理想的高斯白噪声的关联维数为无穷大。因此可以从关联指数随嵌入维数的变化趋势来判断去噪算法是否有效地去除了附加在信号上的噪声。

2.伪邻近点法

在m+1维嵌入空间中，分别计算m维中的相点X（i）与最近邻域点X（j）之间的距离dm=‖X（i）—X（j）‖，然后再迭代计算二者的m+1维距离dm+1，如果dm+1/dm≥RT，则认为X（i）与X（j）为一对伪最近邻域点，其中RT为门限阈值。因此在实际计算中，通过统计伪最近邻域点对数占总邻域点对数的比率随嵌入维数升高的变化情况来判断去噪的效果。一般来讲，对纯净的混沌信号，当这个比率小于某个值而保持不变或者等于0时，可认为基本无最近邻域点；但是，如果时间序列中含有噪声，则原吸引子轨道就会受到影响，伪最近邻域点个数也会受影响，该比率会在某处到达最小，但不会稳定在最小值处，而是有增长的趋势。

3.Lyapunov指数法

Lyapunov指数作为沿轨道长期平均的结果，是一种整体特征，其值总是可正可负，也可等于零。在Lyapunov指数λ＜0的方向，相体积收缩，运动稳定，且对初始条件不敏感；在λ＞0的方向上轨道迅速分离，长时间行为对初始条件敏感，运动呈混沌状态；λ=0对应于稳定边界，属于一种临界状况。若系统最大Lyapunov指数λ1＞0，则该系统一定是混沌的。所以，时间序列的最大Lyapunov指数是否大于零可以作为该序列是否为混沌的一个判据。

4.预测方法

如果去噪过程成功地去除了大部分噪声，那么处理过的数据应该比原始数据更适合用于短期预测，换句话说，数据的自相容性应更好。这可以通过应用非线性预测器在去噪前后计算预测误差进行量化。在最简单的情况下，数据被分为两部分，其中一部分必须足够长以便逼近非线性映射F[x（t）]。预测误差对剩下的Np个点进行计算：

如果数据序列太短以致于不能分成足够长的两部分，那么可以应用统计学方法获得统计误差[3]。有三个因素影响低维混沌系统中的一步预测误差：

（1）观测值被噪声污染，产生的误差与噪声水平的阶数成正比。

（2）预测方程中的自变量数据值被噪声污染，同样产生一个和噪声水平成比例的误差，但由于系统对初值的敏感性，这个误差会被放大，比例常数通过计算F的Jacobian矩阵的最大奇异值来确定。

（3）确定的预测方程仅仅是对真实动力学系统的估计，估计的精度可能是一个关于噪声水平的较复杂的函数。

其中（1）和（2）的影响都跟噪声水平成比例。人们希望预测器与真实动力学系统之间的偏差随着噪声水平的增加单调增加，但由于同时存在着这三种情况的影响，预测误差e随噪声水平的增长速度要高于线性[3]。如果将去噪前的e和去噪后的ê放在一起比较，则只能获得去掉的噪声水平的上界。当然，只要ê＜e，那么就可以认为数据呈现出更高的自相容性，即去噪算法起到了效果。