窗宽确定：混沌时间序列预测理论与方法

由上讨论，重构相空间的两个参数是嵌入维数m 和嵌入延迟τ。常规方法中，m和τ是单独确定的。但近年来，有研究认为影响相空间质量的主要因素不只在于如何单独选取m和τ，更重要的是联合m和τ的嵌入窗宽τw=（m—1）τ的确定。Broomhead在实际计算中首先选定τw，然后增加m 的同时减小τ值，保持τw为常数，以获得最佳的m和τ。Kim等[44]提出的关联积分法通过嵌入时间序列的关联积分构造统计量来代表非线性时间序列的相关性，从而确定延迟时间和嵌入窗宽，最后计算得到嵌入维数。因此，确定嵌入窗宽也是确定混沌系统相空间重构参数的一种方法。常见的确定方法如下。

1.平均位移法

平均位移法[29]属于相空间重构几何法，实际是在假设嵌入维数已知的前提下，通过确定嵌入窗宽求出延迟时间。其主要思想是通过引入平均位移（Average displacement，简写为AD）度量状态点从对角线扩展的程度，在冗余误差和不相关误差之间寻找一个折中点，使二者的总误差达到最小。平均位移〈Sm（τ）〉的计算公式为

式中：m为嵌入维数；N 为时间序列的长度；τ为延迟时间。

当〈Sm（τ）〉的增长斜率下降到初始值的40%的点时，对应的τ即所求的嵌入延迟。

2.CC方法

1999年，Kim，Eykholt和Salas提出CC方法[45]，该方法应用关联积分能够同时估计出延迟时间τd和嵌入窗宽τw。设x（n），n=1，2，…，N为时间序列，Xi（n）=﹛xi（n），xi（n+τ），…，xi[n+（m—1）τ]﹜（i=1，2，…，M）为相空间中的点。CC方法的具体描述如下：

嵌入时间序列的关联积分定义为下式的函数，其中r＞0

式中：m为嵌入维数；N 为时间序列的长度；r为邻域半径的大小；τ为时间延迟；θ（·）为Heaviside单位函数。

关联维数为

其中，logC（m，r，τ）=C（m，N，r，τ）。

将时间序列x（n），n=1，2，…，N，分成t个不相交的时间序列，长度为INT（N/t），INT为取整。对于一般的自然数t，有(www.xing528.com)

﹛x（1），x（t+1），x（2t+1），…﹜

﹛x（2），x（t+2），x（2t+2），…﹜

⋮

﹛x（t），x（t+t），x（2t+t），…﹜

然后计算每个子序列的统计量S（m，N，r，τ）为

式中：Cl是第l个子序列的相关积分。

局部最大间隔可以取S（·）的零点或对所有的半径r相互差别最小的时间点。选择对应值最大和最小两个半径r，定义差量为

根据统计学原理，m取值在2到5之间，r的取值在σ/2和2σ之间。σ是时间序列的均方差。得到方程如下：

其中，（t）为所有子序列的统计量S（m，N，rj，t）的均值，Δ（t）的第一个极小值对应第一个局部最大时间τ，Scor（t）的最小值对应时间序列独立的第一个整体最大值时间窗口，即延迟时间窗口。

计算相空间重构参数，尤其是延迟时间τ的方法较多。但现有方法一般都只针对某一个应用领域，而且每种方法中相关参数的选择没有固定的指导原则，导致计算结果受研究者主观性的影响较大。实际上，Takens定理研究的无噪声混沌序列，对τ值无需具体限制。非线性预测研究也指出，重构相空间时，τ不取最佳延时只会影响重构吸引子的欧几里得几何形状进而影响关联维数的计算，并不影响重构的吸引子无歧义地反映系统的动力学性质[46]。相反，若τ取较大的值，则非线性预测模型需要拟合的关系复杂，计算量大，难度高。所以相空间重构的关键参数为嵌入维数，τ应视情况取为较小的值。这种参数选取方式需要对观测序列进行有效的噪声滤除。