混沌时间序列预测理论的分形与分维

1.分形

混沌运动吸引子有复杂结构的，有研究表明其中的轨线不可能填满整个收缩区[15]。仔细地分析考查（用计算机绘制吸引子时，步长要比较小，采样点要足够多，有细节部分的图要适当放大）可以看到，轨线在收缩区内某些部位比较密集，而在另一些部位比较稀疏。有的轨线十分密集而形成带（由连续但非周期地绕不动点运动形成的）。有的在多个带之间有空隙。再把吸引子局部放大，还可以发现每条带内还有被不同层次小的空隙隔开的，它们的结构和形状与原来的带和空隙很相似。进一步放大又可以看到相似的结构。因此一般来说，混沌运动的奇异吸引子具有无穷层的自相似（self-similar）结构。这种结构称为分形。

上面提到具有自相似性的几何体叫做分形，但是自相似性还缺乏明确的定义，以至于没有对分形明确的定义。人们首先给出了分形集的有关描述：分形集的几何特征主要在两个方面：首先是这种集合在其几乎每一点的每一个领域内，点的分布是零落散乱、疏稠无规的；其次是这种集合在其几乎每一个点都不存在切线。1989年，法尔科内（Falconer）提出了比较全面的定义[27]：

（1）F（指分形集）精细的结构，即有任意小的比例的细节。

（2）F是如此的不规则以至于它的整体和局部都不能用传统的几何语言来描述。

（3）F通常有某种自相似的形式，可能是近似的或统计的。

（4）一般F的分形维数（以某种方式定义）大于它的拓扑维数。

（5）在通常情况下，F常以非常简单的方法定义，可能由迭代产生。

由上面的叙述可以看出，理解什么是分形，应该对自相似性或非均匀自相似性有更明确的概念。下面采用数学形式把问题表述如下：

设X和Y是欧氏空间Rn中两集合（X ∈Rn，Y ∈Rn），x=[x1，x2，…，xn]和y=[y1，y2，…，yn]分别是X和Y中的点或矢量（x∈X，y∈Y），且x和y是一一对应的 [即对于每一个x，必有一个对应的y∶y=f（x），反之亦然]。

（1）相似变换。对于任意实数β，变换Ts满足下式：

则称此变换为相似变换。

（2）自相似性。设G1，G2，…，GN是几何形体（集合）G的N 个互不相交（即互不重叠，对任意的i≠j，Gi∩Gj都是空集）子集，如果每一子集Gi中的元素（矢量）与集合G中的元素一一对应且满足相似变换式（此时相似变换也称为标度变换），则称此几何体具有自相似性，即G是一分形结构。即分形是在标度变换下（完全地或统计地）不变的结构（集合），即分形具有标度不变性。

（3）仿射变换。设βi（i=1，2，…，n）都是实数，且βi与βj不全都相等（即至少有一对i和j，βi≠βj），若

则称Ta为仿射变换。可以看出相似变换是仿射变换的特例。

（4）自仿射性。如果一个几何形体G与其每一子集Gi的对应元素都满足仿射变换，则称此几何形体G具有自仿射性。既然相似变换是仿射变换的特例，自相似性即自仿射性的特例，因此分形结构（集合）是其一部分（互不相交的任一子集）仿射变换下可以与此结构自身（完全地或统计地）相等的结构（集合）。

这里必须指出的是，自相似性或标度不变性固然是分形的最重要的特征但是对于所有实际存在的无规分形，由于随机性等种种原因，实际分形的自相似性不可能是无穷层次的，即当这类分形结构的一部分（子集）小到一定程度时，自相似性将不复存在。通常把具有自相似性的尺度范围称为无标度范围或无标度区。这种无标度范围的大小可用所谓的特征长度标志。实际分形在小于特征长度的尺寸（标度）时，自相似性不复存在。

2.分维

维数是空间和客体（集合）的重要几何特征量。芒德布罗（Mandelbrot）指出，一个分形集一般具有以下三个要素：形、机遇和维数。这里把维数推广到分形维数（简称分维，fractal dimension）。分形的维数有多种定义，如拓扑维、Hausdorff维数、容量维数、相似维数和关联维等。

（1）拓扑维。拓扑学是研究可连续变化图形的学科，而几何学是研究刚性图形的学科。在几何学中圆和正方形是不同的，但在拓扑学中两者是等价的，因为它们可以连续地相互变换，并且它们都将平面上的点分成三个集合：图形内、图形外和图形上的三个集合，所以它们有共性。类似的一条曲折但连续的折线和一条直线是等价的。于是把一个图形经过连续拉伸、压缩、扭曲等形变，其所对应的仍然保持不变的维数，称为分形的拓扑维数。

为引入下面的几种分形维数，首先定义一个信息谱的概念：

定义2.3 设在n维相空间中，点呈概率分布，以边长为δ的n维盒子δn覆盖相空间，点进入第i个盒子的概率为pi=pi（δ），q是任意实数，称

为广义信息维数。对不同的q可以得到不同的D（q），构成一个无穷序列，称为信息谱。并且D（0）是Hausdorff维数，D（1）是信息维数，D（2）关联维数。

（2）Hausdorff维。

定义2.4[28，29]设U 是n维欧氏空间Rn中任意非空子集，它的直径指U 内任意两点x，y 的距离|x—y|的上确界|U|，即

如果Ui是有限多或可数无穷多个点集构成的点集序列，即Ui是点集F 的一个δ覆盖，

且对每一个i都有0＜Ui≤δ。设F为Rn中任意子集，S为非负集，对任意给定的δ＞0，设

考虑F的所有直径不超过δ的覆盖，并使上式右端出现的和式达到最小，当δ减少，Hsδ（F）随之增加，当δ→0时，极值为

称为集F的s维Hausdorff测度。Hausdorff测度是对长度、面积、体积概念的推广。长度、面积、体积具有比例性质：当比例放大β倍时，线的长度放大β倍，平面面积放大β2倍，空间物体的体积放大β3倍，而对于s维Hausdorff测度的放大倍数为βs。

从上面的定义可以看出，对任何给定的点集F 和δ＜1，Hsδ（F）对s是不增加的，而且，如果t＞s，且 ﹛Ui﹜为F的δ的覆盖，则有

取下确界后得

令δ→0，由于t＞s，若Hs（F）＜∞，则有Hs（F）=0，即存在s的一个临界值使Hs（F）在这个值处从无穷大跃变至0，这个临界值称为集F的Hausdorff维数，记为dH（F）。即

如果有s=dH（F）成立，那么Hs（f）可以为零，无穷或满足0＜Hs（F）＜0。

Hausdorff测度满足有如下性质：

1）若F⊂Rn，β＞0，则有此比例性质：

其中，βF=﹛βF|x ∈F﹜。

2）若F⊂Rn，f∶F→Rn为一映射，使得对正值常数c和a，有指数为a的Holder条件：

|f（x）—f（y）|≤c|x—y|na，x，y ∈F

则对任意s有

所以，如果|f（x）—f（y）|=|x—y|，则Hs[f（F）]=Hs（F），那么Hausdorff测度对平移和旋转都不变。

从Hausdorff测度的性质可以得到其维数的许多性质：

1）如果f∶F→Rn为开集，则dH（F）=n。

2）如果F为Rn中的m 维光滑曲面，则dH（F）=m。

3）如果E⊂F，则dH（E）＜dH（F）。

4）如果﹛Fi﹜为可数的序列，则

5）如果F是可数的，则dH（F）=0。

6）如果F⊂Rn，f∶F→Rm满足Holder条件：

|f（x）—f（y）|≤c|x—y|a，x，y ∈F

则有

7）如果f∶F→Rm满足：

c1|x—y|≤|f（x）—f（y）|≤c2|x—y|，x，y ∈F

其中0＜c1≤c2＜∞，则dH（f（F））=dH（F）。

（3）信息维数的一般定义。设F是平面上的一个有界点集，根据F的有界性，总可以找到一个矩形，使F包含在这个矩形之中，将这个矩形分割成若干个边长为ε的小方格子，于是必有某些数目为N（ε）的小方格落在F内。为了反映点集在分布上的信息，定义信息维数：

其中

式中：pi为F 中的点落在第i个方格中的概率。(www.xing528.com)

（4）相似维数。考虑平面中的一个矩形，把它的尺寸在各个方向都增大l倍，会得到一个大矩形，它的面积相当于原来面积的l2倍。如果是三维的立方体，同样的交换，它的体积为原来的l3倍。通常，如果在d维空间中考虑一个d 维的几何对象，把每个方向尺寸都放大l倍，会得到一个d维体积为原来ld倍的几何体。于是将N=ld这种关系取对数，便得到相似维数的定义：

（5）Lyapunov维数。可以利用Lyapunov指数来定义Lyapunov维数。把指数从大到小进行排列，λ1≥λ2≥…，奇异吸引子的Lyapunov维数定义为

其中Sk=≥0，k是使Sk≥0的最大值。

下面给出一个一维分形例子，即Logistic映射。在生态学里有一个方程，它用来描述一个含有N 个个体的群体进化，考虑出生率、死亡率和可用于该群的资源总体总量。其差分形式可以写成

式中：μ和ν均为常数参量。它具有很简单形式的解：

其中常数c＞0，它由t=0时的个体数x0=μ/ν+νc决定。当t→∞，x→μ/ν，表示在有限的资源内最大供养的个体数目。作变换：xn=νyn/μ，则Logistic映射变为

xn+1=F（xn）=μxn（1—xn）

可以看出此方程的定义域为x ∈[0，1]。通常首先要知道，在一定资源和环境（参量μ和ν到一些定值）下，个体的数量能繁殖到达的稳定不变数量。显然，这些不变值或定点的条件是：xn+1=xn。这种在迭代中不变的点称为映射的定点（不动点）。

在几何上，可以用蛛网作图法近似求出此定点，具体过程为：用xn+1和xn分别作为纵横坐标，F（x）的定点即为F（x）—xn曲线与分解线（xn+1=xn）的交点。首先，x取某一值x0，x经过第一次迭代（映射），x的取值x1是通过x0的竖线与F（xn）曲线交点的纵坐标之值。把x1再当横坐标（经x1画平行横轴的横线，它与分界线交点的横坐标）作为第二次迭代的初值x1。通过此横坐标x1的竖线与F的交点的纵坐标是第二次迭代的结果x2。继续进行迭代（迭代如图2.5所示，它形如蛛网），最后便到达定点。不同的初值x0，经过多次迭代也都会到达此定点。这表明种群的繁殖到达的稳定不变的数量是由种群这一系统自身性质和环境决定的，与初始条件（初始数量）无关。

图2.5　蛛网作图法

现在继续讨论定点的稳定性问题。与微分方程中的定态或定点存在稳定性类似，离散映射差分方程的定点也存在稳定性问题。令xf表定点的位置，根据其定义

xf=F（xf）

其中，F（·）为系统方程。设外界影响（微扰）使x偏离xf一极小量ε，即

x=xf+ε

则

xn+1=xf+εn+1=F（xn）=F（xf+εn+1）

=F（xf）+F′（xf）εn+0（ε2n）

其中，εn代表经过n次迭代映射后状态的偏离。只保留ε的一次项得到

εn+1=F′（xf）εn

所谓稳定，即要求经过迭代后的|ε|越来越小。因此离散映射稳定性条件是

即稳定定点要求曲线在定点xf处的绝对值小于1。如果|F′（xf）|＞1，则定点xf是不稳定的。再回到Logistic映射，此时定点是

xf=μxf（1—xf）

上式的解除了平凡的定点xf=0外，另一解（定点xf）是

xf=（μ—1）/μ

临界条件是

μ—2μxf=±1

联立两方程得到临界情形下的μ值

μ=1，μ=3

所以定点xf稳定的条件是μ ∈（1，3）。

但是即使在上述μ值范围内，F′（0）=μ＞1，故定点xf=0总是不稳定的。这表示种群只要有一点数量（接近于零但不等于零）便要繁殖（增加）这一平凡事实，所以通常点x=0不多加考虑。有实际意义的是xf=（μ—1）/μ表示定点xf，在μ=3处，xf将由稳定过渡到不稳定。这时便出现分岔。

当μ略大于3（3＜μ＜3.4494897）时，单一定点的条件不再满足，这时如果给定某一μ值（如令μ=3.1），任意设一初始条件x0，用计算机对式（2.4）施行逐次迭代。这表示此时虽不存在一个稳定的定点，但却交替地出现两个定点（两点周期或周期2，记为2P），即

xn+2=F（xn+1）=F[F（xn）]=F°F（xn）=F2（xn）=xn

式中圆圈“°”表示复合作用，F右上角的指数不代表乘幂而表示复合作用的次数如F2=F°F。上式也可写成

xn+2=T（xn）=xn（xn+1≠xn）

式中T（x）表示复合函数：

T（x）=F2（x）=F[F（x）]

对于Logistic映射，由于

xn+2=μxn+1（1—xn+1）

=μ[μxn（1—xn）][1—μxn（1—xn）]

=μ2xn[1—（1+μ）]

故

可以看出这是一个四次方程，它有四个根，即F2（x）与对角线有四交点。因为F2（x）=x的根也包含F（x）=x的根，故方程的四个根中有两个根分别为0和xf。但此时μ＞3，F2（x）在这两点的导数大于1，这两点都是不稳定的。因此一个周期中的两点应该是除了0和xf外剩下的两个根。通过运算

得到。

这种两个不同周期交替出现的现象，在种群问题中表示：在一定的条件（μ取某一适当值）下，种群中个体的数量每隔一定时间交替地出现大数和小数。这与某些果树和作物的产量有大年与小年交替情况相类似。当然果树或作物产量不一定是服从Logistic映射。

与一个定点是否稳定类似，两点周期也有是否稳定的问题。其稳定条件也是同样的

稳定的临界条件是

利用复合函数求导规则

于是有

即F2在两定点xd和xd′的导数相等，这两点的稳定性相同。

依次类推，2点周期之后将相继出现2n点周期（n=2，3，4，5…），且n点周期中各点的稳定性相同。各点稳定条件是

临界条件是

Fn′（x）=±1

由此可见，在单峰映射中，也存在着不断的倍周期分岔的级联过程，如图2.6所示。

图2.6　Logistic映射分岔图

既然存在着倍周期分岔，自然也可能由此通向混沌。式（2.4）中从较小的μ值开始（如从μ=2.9开始），对每一μ值进行迭代运算，求得x的稳定定点或稳定周期，然后适当选取μ的增量Δμ，用μ+Δμ代入式（2.4），再进行迭代运算，求得x的稳定定态值或稳定周期值。改变μ的增量继续进行迭代计算，然后以μ值为横坐标，映射所得x值为纵坐标，得到x—μ的关系图（图2.6）。当μ＜μ∞=3.5699456时，随着μ的增大，的确依次出现了2n的倍周期分岔。但当μ＞μ∞时，情况完全变了。这时x的取值在一定范围内是随机的，表明出现了混沌，如图2.6所示。所以μ∞是倍周期分岔到混沌的临界点，即规则取值的周期序列区与混沌区的交界点。

从式（2.4）实际迭代过程中可以看出，由于方程的非线性，不同区间映射结果不一样：区间（0，0.5）的点映射到区间（0，μ/4）（放大或伸长作用），区间（0.5，μ/4）中的点映射到区间（μ/4，μ2（4—μ）/42）（折叠作用），区间（μ/4，1）中的点则映射到区间[μ2（4—μ）/42，0]中间去，但由于μ/4是映射后可能取的最大值，因此区间（μ/4，1）中的点再一次的映射实际上不存在。因此当μ＞μ∞时，区间（0，0.5）的点映射后总是互相排斥分开，而区间（0.5，μ/4）中x值越大映射后反而变得越小，即映射相当于折叠作用。这样不断的映射便使原来分布在区间（0，1）的点不断的分离和折叠，映射点最后都集中在区间 [μ/4，μ2（4—μ）/42]内。即映射最后只是在此区间内各点间进行反复迭代，从而形成复杂的看来是无序的（随机）的混沌。由此可见混沌的形成是折叠起了关键作用。这里值得注意的一点是，倍周期分岔正是一种自相似结构。