以前，人们提出一个问题，怎样尽量精确地计算对应确定初始条件的万有引力作用的质点运动。庞加莱（Poincare）[26]所感兴趣的，不是某个具体运动，而是所有可能的运动——如今天所说的相空间的诸多运动（在稳定运动流体中，每个点都有一个确定的流动速度）方面的问题，如在描述可能的运动相轨迹里，有闭合曲线吗？这个问题的意义在于：当相点在闭合曲线转了一整圈后，又回到初始点，然后，又开始同样的运动。也就是说，一个闭合轨道描述一个周期性运动。为了研究这一问题，在当时并没有计算机的情况下，庞加莱提出Poincare映射的概念。
Poincare映射是一个经典的分析动力系统的技术，它用N—1阶的离散系统替换原先N 阶连续系统的流。在多维空间中适当选取一截面，在此截面上某一对共轭变量如x1，x.1取固定值，通常称此截面为Poincare截面。观察运动轨迹与此截面的截点，这样原相空间连续轨迹在Poincare截面上便表现为一些离散点之间的映象Pn+1=TPn（T为Poincare映射）：
（1）当Poincare截面上只有一个动点或少数离散点时，运动是周期运动。
（2）当Poincare截面上是一闭曲线时，运动是准周期运动。(www.xing528.com)
（3）当Poincare截面上是一些成片的密集点时，运动便是混沌的。
它的定义保证了离散系统的极限集对应于连续系统相应流的极限集。它的作用在于降低系统的阶，并且成为联接连续系统和离散系统的桥梁。
利用Poincare映射研究常微分方程有如下几个优点：首先，可以降低原有系统的阶，构造Poincare映射可以消除至少一个变量，从而简化问题；其次，可研究全局动力学问题，在低维的问题中，Poincare映射给出了系统的全局动力学的深入的、明显的展示；最后是概念更清楚，许多用常微分方程描述的含混不清的概念，如果用Poincare映射来描述则会变得非常简洁、清晰。
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