离散数学（下册）自测题及答案

自测题一

（一）判断题：每小题2分，共20分（判断下列各题是否正确，正确的在题后面的括号内画“√”号，错误的画“×”号）。

1.设S 是奇数的集合，则S 关于数的乘法构成半群。（ ）

2.设S 是4的所有整数倍数集合，则S 关于数的乘法是交换半群。（ ）

3.设G 是实数域R上的所有n 阶对角阵做成的集合，则G 关于矩阵的乘法是群。（ ）

4.有理数集合Q，关于数的乘法构成群。（ ）

5.设S 是群G 的非空子集，如果对任意x，y∈S，都有xy∈S，并且x-1∈S，则S 是G 是子群。（ ）

6.设G 是非交换群，则对任意a，b∈G，都有（ab）3=a3b3。（ ）

7.全体正有理数集合Q+关于乘法是群。（ ）

8.设G 是群，a∈G，则a 的逆元的唯一的。（ ）

9.以4为模的剩余类加群（Z4；+）不是循环群。（ ）

10.设a 是群G 中的任一元素，a 的阶为n，则a 生成循环群为H 为（ ）

H={a0=e,a,a2,…,an-1}

（二）单项选择题：每小题2分，共12分（从每小题给出的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的号码写在题后面的括号内）。

1.设G 是群，a∈G，a 的阶为无穷，k，l是两个整数、当k≠l时，则（ ）。

A.ak≠al

B.当k 是l的倍数时，有ak=al

C.仅当k 与l不互质时，有ak≠al

D.上述情况均不一定

2.设H1，H2 都是G 的子群，e1，e2，e 分别是H1，H2，G 的单位元，则（ ）。

A.e1=e2=e B.e1≠e2

C.e1=e2≠e D.e1，e2，e 互不相同

3.设S 是齐次线性方程组

的解向量的集合，关于n 元向量的加法，则S（ ）。

A.不是群 B.是交换群

C.是循环群D.是非交换群

4.设S 是用4除余数是1的所有整数的集合，即

S={m ∈Z|m=4q+1,q ∈Z}

关于数的乘法，则S 是（ ）。

A.群 B.无单位元的半群

C.单位元的半群 D.既不是群，也不是半群

5.在剩余类加群（Z6；+）中，3的阶是（ ）。

A.2B.3C.4D.6

6.剩余类加群（Z8；+）的如下的4个子集，关于剩余类加法是（Z8；+）的子群的有（ ）。

A. B. C. D.

（三）求出以6为模的剩余类加群（Z6；+）中每个元素的阶，并找出它的一个2阶子群。（10分）

（四）设n 为任一自然数，nZ表示n 的一切整数倍组成的集合，即

nZ={nl|l=0,±1,±2,…}

证明：（nZ；+）是整数加群的子群。（10分）

（五）设，

证明：G 关于矩阵乘法是循环群。（10分）

（六）设G={1，-1，i，-i}，则G 关于数的乘法是群。（8分）

（七）设，

证明：S 关于矩阵乘法是M2（R）的子群。（10分）

（八）指出置换群（S3；·）的各元素的阶，并且找出S3 的所有2阶子群。（10分）

（九）设G 是群，a∈G，证明a 与a-1 有相同的阶。（10分）

自测题二

（一）判断题：每小题2分，共20分（判断下列各题是否正确，正确的在题后面的括号内画“√”号，错误的画“×”号）。

1.设S 是3的所有整数倍数的集合，则S 关于数的加法是交换半群。（ ）

2.设G={1，-1}，则G 关于数的乘法是群。（ ）

3.设e 是群G 的单位元，a∈G，若am=e，则m 是a 的阶。（ ）

4.设G 是群，则G 中的消去律成立，即对任意a，b，c∈G，若ab=ac，则b=c，若ba=ca，则b=c。（ ）

5.设G 是半群，如果G 有单位元，则G 一定是群。（ ）

6.设R 表示非零实数组成的集合，则R 关于数的乘法运算是群。（ ）

7.设e 是群G 的单位元，则e 必在G 的任一子群中，并且e 也是G 的任一子群的单位元群。（ ）

8.整数加群不是循环群。（ ）

9.用N 表示自然数的全体构成的集合，则N 关于数的乘法不是半群。（ ）

10.设H 是群G 的子群，a∈H，则a 在H 中的逆元就是a 在G 中的逆元。（ ）

（二）单项选择题：每题2分，共12分（从每小题给出的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的号码写在题后面的括号内）。

1.设S 是非负整数集，则S 关于数的乘法（ ）。

A.是群

B.是有单位元的半群

C.是无单位元的半群

D.不是群，也不是半群

2.剩余类加群（Z8；+）的生成元是（ ）。

A.B.C.D.没有生成元

3.设R为实数域，S=，则S 关于矩阵乘法是（ ）。(www.xing528.com)

A.是群 B.是交换群

C.非可换半群 D.有单位元的可换半群

4.在置换群S3 中，元素的阶是（ ）。

A.1 B.2C.3 D.4

5.设S={（a1，a2，…，an）|ai∈R}，则S 关于n 元向量的加法（ ）。

A.是非交换群 B.是交换群

C.是循环群 D.是非可换半群

6.M2（R）表示实数域R 上的全体二阶方阵构成的集合，则M2（R）关于矩阵的乘法是（ ）。

A.无单位元的半群B.有单位元的半群

C.群D.可交换半群

（三）在剩余类加群（Z8；+）中，指出每个元素的逆元。（10分）

（四）设SL2（R）={A∈M2（R）|detA=1}（detA 表示A 的行列式），则SL2（R）关于矩阵的乘法是（M2（R）；·）的子群。（10分）

（五）设G 是群，a，b∈G，（1）若aa=ab，则a=b；（2）若aa=a 则a=e。（10分）

（六）设G 是交换群，令

H={a ∈G|a5=e}

证明：H 是G 的子群。（10分）

（七）设，

证明：A3 关于置换乘法是S3 的子群，并且是循环群。（10分）

（八）设S={A∈M2（R）|AT=A}，这里AT 表示A 的转置，则S 关于矩阵的加法是（M2（R）；+）的子群。（10分）

（九）设e 是群G 的单位元，a∈G，a 的阶为k，若am=e，则k 整除m。（8分）

【自测题一答案】

（一）判断题

1.√2.√3.×4.×5.√6.×7.√8.√9.×10.√

（二）选择题

1.A2.A 3.B 4.C 5.A6.A

（三）的阶为1；的阶为6；的阶为3；

的阶为2；的阶为3；的阶为6。

H=是（Z6；+）的一个2阶子群。

（四）因为n=n·1∈nZ，故nZ≠，对任意nt1，nt2∈nZ，这里t1，t2∈Z，则有

nt1+nt2=n(t1+t2)∈nZ

并且nt1 的逆元：-nt1=n（-t1）∈nZ。由子群的充要条件知（nZ；+）是（Z；+）的子群。

（五）设，G 的运算表如下

由表中知G 关于矩阵乘法运算封闭，I 是单位元，σ 以自身为逆元，结合律成立，因此，G关于矩阵乘法是群，并且是循环群，σ 是G 的生成元，即（σ）=G={I，σ}。

（六）G 的运算表如下

由运算表知G 关于乘法运算封闭，1是它的单位元，-1的逆元是-1，i的逆元是-i，-i的逆元是i，数的乘法适合结合律，故G 是群，因为

i2=-1,i3=-i,i4=1

因此G=（i）={i0=1，i，i2，i3}是循环群。

（七）对任意，

的逆元∈S，故S 是M2（R）的子群。

（八）的阶为1；的阶为2；的阶为2；的阶为2；的阶为3；的阶为3。

2阶子群有：

（九）设a 的阶为k，

(a-1)k=(a-1)kak=(a-1a)k=e

假设有正整数t＜k，使（a-1）t=e，那么

at=at·(a-1)t=(a·a-1)t=e

与k 的最小性矛盾，因此a-1 的阶为k。

【自测题二答案】

（一）判断题

1.√2.√3.×4.√5.× 6.√7.√8.×9.× 10.√

（二）单项选择题

1.B2.C 3.D 4.C 5.B 6.B

（三）的逆元是；的逆元是；

的逆元是；的逆元是；

的负元是；的逆元是；

的逆元是；的逆元是；

（四）因为，故SL2（R）≠，对任意的A，B∈SL2（R），由det（AB）=detA·detB=1，故AB∈SL2（R），再由detA-1==1，故A-1∈SL2（R），因此SL2（R）是M2（R）的子群。

（五）（1）因为aa=ab，故a-1aa=a-1ab 得a=b；

（2）由aa=a=ae 及消去律知a=e。

（六）因为e5=e，所以e∈H≠。对任意a，b∈H，由（ab）5=a5·b5=e知ab∈H，再由

e=(a-1a)5=(a-1)5·(a5)=(a-1)5

知a-1∈H，因此H 是G 的子群。

（七）设，列出它们的运算表如下：

由运算表知A3中任意两个元素乘积还在A3 中，σ0 是单位元，σ1 的逆元是σ2，σ2 的逆元是σ1，因此A3 是S3 的子群。由σ21=σ2，σ31=σ0 知A3=（σ1）={σ01=σ0，σ1，σ21}，即A3 是循环群。

（八）零阵，对任意A，B∈S，由（A+B）T=AT+BT=A+B，知A+B∈S，又由（-A）T=-A，故-A∈S，因此S 关于矩阵加法是M2（R）的子群。

（九）用k 除m 得：m=kq+r，0≤r＜k，q∈Z，因此am=（ak）q·ar=ar=e，由k 的最小性知r=0，即k 整除m。