离散数学（下册）习题解，A、B、C关系分析

1.用列举法表示下列集合：

（1）1至100的整数中的完全平方数的集合；

（2）大于3而小于等于7的整数集合；

（3）12的质因数集合；

（4）全体偶数的集合。

解：（1）{1，4，9，16，25，36，49，64，81，100}；

(2){4,5,6,7};

(3){2,3};

(4){…,-2,0,2,…}。

2.用描述法表示下列集合：

（1）被5除余1的整数集合；

（2）平面直角坐标系中单位圆内（不包括单位圆周）的点集；

（3）使有意义的实数x 的集合。

解：（1）{5x+1|x∈Z}；

(2){(x,y)|x2+y2＜1};

（3）{x|x∈R且x2+x-6≠0}。

3.判定下列各题的正确与错误：

(1){a}∈{a,b,c};

(2){a}⊆{a,b,c};

(3)∈{a,b,c};

(4)⊆{a,b,c};

(5){a,b}⊆{a,b,c,{a,b,c}};

(6){a,b}∈{a,b,c,{a,b,c}};

(7){a,b}⊆{a,b,{a,b}};

(8){a,b}∈{a,b,{a,b}};

(9){a,b,c}⊆{a,b,c,{a,b,c}};

(10){a,b,c}∈{a,b,c,{a,b,c}}。

解：（1）错误 （2）正确 （3）错误 （4）正确 （5）正确

（6）错误 （7）正确 （8）正确 （9）正确 （10）正确

4.对于任意集合A，B，C，确定下列各命题是否正确：

（1）如果A∈B 及B⊆C，则A∈C；

（2）如果A∈B 及B⊆C，则A⊆C；

（3）如果A⊆B 及B∈C，则A∈C；

（4）如果A⊆B 及B∈C，则A⊆C；

（5）如果A∈B 及B⊈C，则A∉C；

（6）如果A⊆B 及B∈C，则A∉C。

解：（1）正确。

（2）错误，例如：A={a}，B={{a}，b}，C={{a}，b，d}，有A∈B，B⊆C，但A⊈C。

（3）错误，例如：A={a}，B={a，b}，C={{a，b}，a}，有A⊆B，B∈C，但A∉C。

（4）错误，例如：A={a}，B={a，b}，C={{a，b}，d}，有A⊆B，B∈C，但A⊈C。

（5）错误，例如：A={a}，B={{a}，b}，C={{a}，d}，有A∈B，B⊈C，但A∈C。

（6）错误，例如：A={a}，B={a，b}，C={{a}，{a，b}}，有A⊆B，B∈C，但A∈C。

5.写出{a，b，c}的全部子集和真子集，并求幂集。

解：令A={a，b，c}，ρ（A）={，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}}。ρ（A）中的元素就是A 的全部子集，其中除A 本身之外，都是A 的真子集。

6.求下列集合的幂集：

(1){a,{a}};

(2){,a,{a}}。

解：（1）令A={a，{a}}，ρ（A）={，{a}，{{a}}，{a，{a}}}；

（2）令B={，a，{a}}，ρ（B）={，{}，{a}，{{a}}，{，a}，{，{a}}，{a，{a}}，{，a，{a}}}。

7.设某集合有40个元素，试问：

（1）可构成多少个子集？

（2）其中有多少个子集的基数为奇数？

（3）是否有含有41个元素的子集？

解：（1）可构成240 个子集；

（2）有240/2=239个子集的基数为奇数；

（3）不可能有含有41个元素的子集。

8.设E={1，2，3，4，5}，A={1，4}，B={1，2，5}，C={2，4}，试求下列集合：

(1)A∩B;

(2)A∪B;

(3)A∩B∩C;

(4)A∩;

(5)∪;

(6)(A∩B)∪;

(7);

(8)A∪∪C;

(9)ρ(A)∩ρ(B);

(10)ρ(A)-ρ(B)。

解：（1）A∩B={1}；

(2)A∪B={1,2,4,5};

(3)A∩B∩C=;

(4)A∩={4};

(5)∪={2,3,4,5};

(6)(A∩B)∪={1,3,5};

(7)={2,3,4,5};

(8)A∪∪C={1,2,3,4};

(9)ρ(A)∩ρ(B)={,{1}};

(10)ρ(A)-ρ(B)={{4},{1,4}}。

9.判定下列命题哪些是恒成立？ 恒不成立？ 还是有时成立？ 可用文氏图来确定。

（1）若a∈A-B，则a∈A-（A∩B）；

（2）若A≠B，则A∩=B∩；

(3)(A-B)∪B=A∪B;

(4)(A-B)∪(A-C)=A;

(5)(A-B)∩(A-C)=。

解：（1）恒成立。若a∈A-B，则a∈A，a∉B。由a∉B，有a∉A∩B，所以a∈A-（A∩B）。

（2）恒不成立。由A∩=B∩，必有A=B。

（3）恒成立。（A-B）∪B=（A∩）∪B=（A∪B）∩（∪B）=（A∪B）∩E=A∪B。

（4）有时成立。（A-B）∪（A-C）=（A∩）∪（A∩）=A∩（∪）=A-（B∩C）=A，所以只要A∩B∩C=，等式成立。

（5）有时成立。当A⊆B∪C 时，成立。

10.A，B 为任意两个集合，求证：

A-(A ∩B)=A-B

11.设A，B，C 是三个任意集合，求证：

(1)(A∪B)-C=(A-C)∪(B-C);

(2)A-(B-C)=(A-B)∪(A∩C)。

12.证明（A∩B）∪（A∩（B∪C））的补集是（A∪B）∩（A∪B）∩（A∪C）。

13.证明下列等式：

(1)(A∪B)∩(∪C)=(A∩C)∪(∩B)∪(B∩C);

(2)(A∪B)∩(A∪C)=A∪(B∩C)。

(2)(A∪B)∩(A∪C)=A∪(B∩C)。

14.设有集合A，B：

（1）若A-B=B，则A 与B 有什么关系？

（2）若A-B=B-A，则A 与B 有什么关系？

解：（1）若A-B=B，则B=B∩B=（A-B）∩B=A∩∩B=A∩=，又=B=A-B=A∩=A∩E=A，所以有A=B=。

（2）若A-B=B-A，则B∪（B-A）=B∪（A-B），有B=B∪A，同理A∪（B-A）=A∪（A-B），有A=B∪A，所以有A=B。

15.在城镇居民身份调查中，假设在15名居民中，有12名是工人，有5名是干部，其中有3名具有双重身份，即编制是工人，做干部工作（以工代干人员），试问既不是工人又不是干部的非在职人员几人？

解：设A1={工人}，A2={干部}，则按题意有：

|A1|=12,|A2|=5,|A1∩A2|=3,|A1∪A2|=|A1|+|A2|-|A1∩A2|=14,

所以既不是工人又不是干部的人共15-14=1人。

16.某校足球队有球衣38件，篮球队有球衣15件，棒球队有球衣20件，三个队队员的总数是58人，其中有三人同时参加三个队，试求同时参加两个队的队员共有几人？

解：设A1={足球队员}，A2={篮球队员}，A3={棒球队员}，则按题意有：

|A1|=38,|A2|=15,|A3|=20,|A1∪A2∪A3|=58,|A1∩A2∩A3|=3,

由包含排斥原理，得

|A1∪A2∪A3|=|A1|+|A2|+|A3|-|A1∩A2|-|A2∩A3|-|A1∩A3|+|A1∩A2∩A3|

即58=38+15+20-|A1∩A2|-|A2∩A3|-|A1∩A3|+3。

所以|A1∩A2|+|A2+A3|+|A1∩A3|=18。

参加两个队的队员共18人。

17.（1）在一个班级的50个学生中，有26人在第一次考试中得到A，21人在第二次考试中得到A，假如有17人两次考试都没有得到A，问有多少学生两次考试中都得到A？

（2）在这些学生中，如果第一次考试中得到A 的学生人数等于第二次考试中得到A 的人数，如果仅仅在一次考试中得到A 的学生总数是40，并且有4个学生两次考试都没有得到A，问有多少学生仅在第一次考试中取得A？ 问有多少学生仅在第二次考试中取得A？ 又问有多少学生在两次考试中都得A？

解：设A1={第一次考试得到A 的学生}，A2={第二次考试得到A 的学生}。

（1）按题意有，|A1|=26，|A2|=21，|A1∪A2|=50-17=33，由包含排斥原理，得

|A1∩A2|=|A1|+|A2|-|A1∪A2|=26+21-33=14,

所以两次考试都得到A 的共14人。

(2)|A1|=|A2|,|A1∪A2|=50-4=46。

又|A1∪A2|=|A1∩|+|A2∩A1|+|A1∩A2|，|A1∩|+|A2∩|=40，故|A1∩A2|=46-40=6，由|A1∪A2|=|A1|+|A2|-|A1∩A2|，得到2|A1|=46+6=52，即|A1|=|A2|=26。

所以在第一次（或第二次）考试中有26人得到A，在两次考试中都得到A 的有6人。

18.对200名大学一年级的学生进行调查的结果是：其中67人学数学，47人学物理，95人学生物，26人既学数学又学生物，28人既学数学又学物理，27人既学物理又学生物，50人这三门课都不学。

（1）求出对这三门课都学的学生人数；

（2）在文氏图中将正确的学生人数填入其中8个区域。

解：（1）设|A1|={学习数学的学生}，|A2|={学习物理的学生}，|A3|={学习生物的学生}，由题设有，

|A1|=67，|A2|=47，|A3|=95，|A1∩A3|=26，|A1∩A2|=28，|A2∩A3|=27，|A1∪A2∪A3|=200-50=150，由包含排斥原理，得

|A1∪A2∪A3|=|A1|+|A2|+|A3|-|A1∩A3|-|A1∩A2|-|A2∩A3|+|A1∩A2∩A3|，故|A1∩A2∩A3|=150-67-47-95+26+28+27=22，

所以对这三门课都学的学生共22人。

(2)

19.设A={0，1}，B={1，2}，试确定下面的集合：

(1)A×{1}×B;

(2)A2×B;

(3)(B×A)2;

(4)(A×B)∩(B×A)。

解：（1）A×{1}×B={（0，1，1），（0，1，2），（1，1，1），（1，1，2）}

(2)A2×B={(0,0,1),(0,0,2),(0,1,1),(0,1,2),(1,0,1),(1,0,2),(1,1,1),(1,1,2)}

(3)(B×A)2={((1,0),(1,0)),((1,0),(1,1)),((1,0),(2,0)),((1,0),(2,1)),((1,1),(1,0)),((1,1),(1,1)),((1,1),(2,0)),((1,1),(2,1)),((2,0),(1,0)),((2,0),(1,1)),((2,0),(2,0)),((2,0),(2,1)),((2,1),(1,0)),((2,1),(1,1)),((2,1),(2,0)),((2,1),(2,1))}

(4)(A×B)∩(B×A)=。

20.设A={1，2}，构成集合ρ（A）×A。

解：ρ（A）={，{1}，{2}，{1，2}}，所以

ρ(A)×A={(,1),(,2),({1},1),({1},2),({2},1),({2},2),({1,2},1),({1,2},2)}。

21.设A={a，b}，B={1，2，3}，C={α，β}，试求A×（B∩C）和（A×B）∩（A×C），并验证A×（B∩C）=（A×B）∩（A×C）成立。

解：A×（B∩C）=A×=，

（A×B）∩（A×C）={（a，1），（a，2），（a，3），（b，1），（b，2），（b，3）}∩{（a，α），（a，β），（b，α），（b，β）}=，所以A×（B∩C）=（A×B）∩（A×C）。

22.证明：若A×A=B×B，则A=B。

证明：（1）若A=，则=A×A=B×B，所以B=。

（2）若B=，同理有A=B=。

（3）若A≠，B≠，由A×A=B×B，有A×A⊆B×B，且B×B⊆A×A，由定理1.3.3，故A⊆B 且B⊆A，所以A=B。

23.证明：若A×B=A×C，且A≠，则B=C。

证明：（1）若B=，则=A×B=A×C，而A≠，所以C=，即B=C。

（2）若C=，同理B=C=。

（3）若B≠，C≠，由A×B=A×C，有A×B⊆A×C 且A×C⊆A×B，由定理1.3.3，故B⊆C 且C⊆B，所以B=C。

24.设A，B，C，D 是任意集合，证明（A∩B）×（C∩D）=（A×C）∩（B×D）。

证明：对任意的（x，y）∈（A∩B）×（C∩D），有x∈A∩B，y∈C∩D，即x∈A 且x∈B，y∈C 且y∈D，故x∈A，y∈C 且x∈B，y∈D，有（x，y）∈A×C 且（x，y）∈B×D，（x，y）∈（A×C）∩（B×D），所以（A∩B）×（C∩D）⊆（A×C）∩（B×D）。

对任意的（x，y）∈（A×C）∩（B×D），有（x，y）∈A×C，且（x，y）∈B×D，故x∈A，y∈C 且x∈B，y∈D，即x∈A∩B 且y∈C∩D，有（x，y）∈（A∩B）×（C∩D），因此（A×C）∩（B×D）⊆（A∩B）×（C∩D）。

所以（A∩B）×（C∩D）=（A×C）∩（B×D）。

25.给定正整数集合Z+的下列子集：

A={n|n＜12},B={n|n≤8},

C={n|n=2k,k∈Z+},D={n|n=3k,k∈Z+},

F={n|n=2k-1,k∈Z+}。

试用A，B，C，D 和F 表达下列集合：

(1){2,4,6,8};

(2){3,6,9};

(3){10};

（4）{n|n 是偶数，n＞10}；

（5）{n|n 是偶数且n≤10，或n 是奇数，且n≥9}。

解：（1）{2，4，6，8}=B-F；

(2){3,6,9}=A∩D;

(3){10}=(A-B)-F;

（4）{n|n 是偶数，n＞10}=C-A；

（5）{n|n 是偶数且n≤10，或n 是奇数且n≥9}=（A∩C）∪（F-B）。

26.给定下列自然数集的子集：

A={1,2,7,8};

B={i|i2＜50};

C={i|3整除i，0≤i≤30}；

D={i|i=2k,k∈Z+,1≤k≤6}。

求下列集合：

(1)A∪(B∪(C∪D));

(2)A∩(B∩(C∩D));

(3)B-(A∪C);

(4)(∩B)∪D。

解：A={1，2，7，8}；

B={0,1,2,3,4,5,6,7};

C={0,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30};

D={2,4,8,16,32,64}。

则（1）A∪（B∪（C∪D））

=A∪B∪C∪D

={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,12,15,16,18,21,24,27,30,32,64};

(2)A∩(B∩(C∩D))=A∩B∩C∩D=;

(3)A∪C={0,1,2,3,6,7,8,9,12,15,18,21,24,27,30},

B-(A∪C)={4,5}。

(4)∩B=B-A={0,3,4,5,6},

(∩B)∪D={0,2,3,4,5,6,8,16,32,64}。

27.证明：对任意集合A 和B，ρ（A）∩ρ（B）=ρ（A∩B）。(www.xing528.com)

证明：对任意x∈ρ（A）∩ρ（B），则x∈ρ（A）且x∈ρ（B），即有x⊆A 且x⊆B，故x⊆A∩B，有x∈ρ（A∩B），所以

ρ(A)∩ρ(B)=ρ(A ∩B)

对任意x∈ρ（A∩B），则x⊆A∩B，有x⊆A 且x⊆B，即x∈ρ（A）且x∈ρ（B），故x∈ρ（A）∩ρ（B），所以

ρ(A ∩B)⊆ρ(A)∩ρ(B)

综上可得：ρ（A）∩ρ（B）=ρ（A∩B）。

28.设A，B 是集合，证明：ρ（A）∪ρ（B）⊆ρ（A∪B），并给出等号成立的充分必要条件。

证明：对任意的x∈ρ（A）∪ρ（B），则x∈ρ（A）或者x∈ρ（B）。

若x∈ρ（A），则x⊆A，而A⊆A∪B，于是x⊆A∪B，故x∈ρ（A∪B）。

同理可证，若x∈ρ（B），则有x∈ρ（A∪B）。

因此ρ（A）∪ρ（B）⊆ρ（A∪B）。

要使等号成立，应有ρ（A∪B）⊆ρ（A）∪ρ（B）。即对任意x∈ρ（A∪B），应有x∈ρ（A）∪ρ（B），于是由x⊆A∪B，能推出x⊆A 或x⊆B，则有A⊆B 或A⊆B。

反之，当B⊆A或A⊆B时，必有ρ（A∪B）⊆ρ（A）∪ρ（B）。

因此，要使ρ（A）∪ρ（B）=ρ（A∪B）成立的充分必要条件是A⊆B 或B⊆A。

29.设x∈B，y∈B，证明{{x}，{x，y}}∈ρ（ρ（B））。

证明：由x，y∈B，得{x}∈ρ（B），{x，y}∈ρ（B），故{{x}，{x，y}}⊆ρ（B），所以{{x}，{x，y}}∈ρ（ρ（B））。

30.设S是任意集合，证明：{，{}}∈ρρρ（S）。

证明：因为⊆S，所以∈ρ（S），{}⊆ρ（S），{}∈ρρ（S）。又因为⊆ρ（S），故∈ρρ（S），所以{，{}}⊆ρρ（S），即{，{}}∈ρρρ（S）。

31.设A，B 是任意集合，若ρ（A）=ρ（B），则A=B。

证明：对任意x∈A，则{x}⊆A，有{x}∈ρ（A），由ρ（A）=ρ（B），故{x}∈ρ（B），即{x}⊆B，得到x∈B，所以A⊆B。

同理可证B⊆A，因此A=B。

32.设A={a}，判定下列各题正确与错误：

(1)∈ρρ(A);

(2)⊆ρρ(A);

(3){}⊆ρρ(A);

(4){}∈ρρ(A);

(5){a}∈ρρ(A);

(6){a}⊆ρρ(A)。

解：（1）正确。因为⊆ρ（A），故有∈ρρ（A）。

（2）正确。空集是所有集合的子集。

（3）正确。因为∈ρρ（A），故有{}⊆ρρ（A）。

（4）正确。因为∈ρ（A），故有{}∈ρρ（A）。

（5）错误。因为ρ（A）={，{a}}，ρρ（A）={，{}，{{a}}，{，{a}}}。

（6）错误。

33.试求在1到10000之间不能被4，5或6整除的整数的个数。

解：设Ai 是1到10000之间能被i整除的整数的集合，则有：

|A4|=2500,|A5|=2000,|A6|=1666,

|A4∩A5|=500,|A4∩A6|=833,

|A5∩A6|=333,|A4∩A5∩A6|=166,

根据包含排斥原理，有：

|A4∪A5∪A6|=|A4|+|A5|+|A6|-|A4∩A5|-|A5∩A6|-|A4∩A6|+|A4∩A5∩A6|=2500+2000+1666-500-833-333+166=4666,

所以满足题意的整数个数为：10000-4666=5334。

34.设有集合{1，2，…，n}，其不重复的一个排列

a1,a2,…,an

满足条件ai≠i（i=1，2，…，n），则称该排列为一个错列。求证集合{1，2，…，n}的错列个数Dn 为

证明：设S 是{1，2，…，n}的所有不重复排列的集合，则|S|=n！。

设有一个排列，如果j 在第j 个位置上，称该排列具有性质Pj，设Aj 是具有性质Pj 的排列的集合，故Aj⊆S。

对于{1，2，…，n}中的任意一个错列，当且仅当这个错列不具有性质P1，P2，…，Pn 中的任意一个性质，所以全部错列组成的集合为：

在集合A1 中，所有排列具有形式1，i2，i3，…，in，其中：i2，i3，…，in 是集合{2，3，…，n}的一个不重复的排列，因而有|A1|=（n-1）！。

同理当1≤j≤n 时，有|Aj|=（n-1）！。

在集合A1∩A2 中的排列具有形式1，2，i3，…，in，其中：i3，i4，…，in是{3，4，…，n}的一个不重复的排列，所以有|A1∩A2|=（n-2）！。

同理当1≤i＜j≤n 时，有|Ai∩Aj|=（n-2）！。

一般地，对1≤i1＜i2＜…＜ik≤n，有

|Ai1 ∩Ai2 ∩… ∩Aik|=(n-k)!

集合{1，2，3，…，n}中取k 个元素的组合数是Ckn，故由包含排斥原理：

35.设由某项调查，发现学生阅读杂志的情况如下：

百分之六十阅读甲类杂志；

百分之五十阅读乙类杂志；

百分之五十阅读丙类杂志；

百分之三十阅读甲类杂志与乙类杂志；

百分之三十阅读甲类杂志与丙类杂志；

百分之三十阅读乙类杂志与丙类杂志；

百分之十阅读三类杂志。

试求：（1）确定阅读两类杂志的学生的百分比；

（2）不读任何杂志的学生的百分比。

解：设A1 表示阅读甲类杂志学生的集合；

A2 表示阅读乙类杂志学生的集合；

A3 表示阅读丙类杂志学生的集合。

则按题意有：|A1|=60%，|A2|=50%，|A3|=50%，

|A1∩A2|=30%,|A1∩A3|=30%,

|A2∩A3|=30%,|A1∩A2∩A3|=10%。

(1)|A1∩A2|+|A2∩A3|+|A1∩A3|-3|A1∩A2∩A3|

=30%+30%+30%-3×10%=60%。

(2)|A1∪A2∪A3|

=|A1|+|A2|+|A3|-|A1∩A2|-|A2∩A3|-|A1∩A3|+|A1∩A2∩A3|

=60%+50%+50%-30%-30%-30%+10%

=80%。

所以，|=1-|A1∪A2∪A3|=20%。

36.证明：

(1)A∩(B⊕C)=(A∩B)⊕(A∩C);

（2）A∪（B⊕C）=（A∪B）⊕（A∪C）不一定成立。

（2）设A={2，3}，B={1，4，7}，C={3，5}，则B⊕C={1，3，4，5，7}，A∪（B⊕C）={1，2，3，4，5，7}，A∪B={1，2，3，4，7}，A∪C={2，3，5}，故有（A∪B）⊕（A∪C）={1，4，5，7}，有A∪（B⊕C）≠（A∪B）⊕（A∪C），因此A∪（B⊕C）=（A∪B）⊕（A∪C）不一定成立。

37.设A，B，C 是任意集合，证明：

(1)A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C);

(2)A-(B∩C)=(A-B)∪(A-C)。

38.下列各式中哪些成立，哪些不成立，为什么？

(1)(A∪B)×(C∪D)=(A×C)∪(B×D);

(2)(A-B)×(C-D)=(A×C)-(B×D);

(3)(A⊕B)×(C⊕D)=(A×C)⊕(B×D);

(4)(A-B)×C=(A×C)-(B×C);

(5)(A⊕B)×C=(A×C)⊕(B×C)。

解：（1）不成立。

设A={a}，B={b}，C={c}，D={d}，有

(A∪B)×(C∪D)={(a,c),(a,d),(b,c),(b,d)},

（A×C）∪（B×D）={（a，c），（b，d）}，即

(A∪B)×(C∪D)≠(A×C)∪(B×D)。

（2）不成立。

设A={a，e}，B={a，b}，C={c，f}，D={d），有

(A-B)×(C-D)={(e,c),(e,f)},

（A×C）-（B×D）={（a，c），（a，f），（e，c），（e，f）}，即

(A-B)×(C-D)≠(A×C)-(B×D)。

（3）不成立。

设A={a}，B={b}，C={c}，D={d}，有

(A⊕B)×(C⊕D)={(a,c),(a,d),(b,c),(b,d)},

（A×C）⊕（B×D）={（a，c），（b，d）}，即

(A⊕B)×(C⊕D)≠(A×C)⊕(B×D)。

（4）成立。对任意的（x，y）∈（A-B）×C，有x∈A-B，y∈C，即x∈A，x∉B 且y∈C，因此x∈A，y∈C，且x∉B，y∈C，故（x，y）∈A×C，且（x，y）∉B×C，所以（x，y）∈（A×C）-（B×C），即（A-B）×C⊆（A×C）-（B×C）。

对任意的（x，y）∈（A×C）-（B×C），有（x，y）∈A×C 且 （x，y）∉B×C，故x∈A，y∈C，再由（x，y）∉B×C，得x∉B，所以x∈A-B，y∈C，即（x，y）∈（A-B）×C，有（A×C）-（B×C）⊆（A-B）×C。

综上可得，（A×C）-（B×C）=（A-B）×C。

（5）成立。

(A⊕B)×C=((A-B)∪(B-A))×C

=((A-B)×C)∪((B-A)×C)

=((A×C)-(B×C))∪((B×C)-(A×C))

=(A×C)⊕(B×C)。

39.证明：对任意集合A，B，C，有（A∩B）∪C=A∩（B∪C）当且仅当C⊆A。

证明：必要性，对任意x∈C，有x∈（A∩B）∪C，由（A∩B）∪C=A∩（B∪C），有x∈A∩（B∪C），所以x∈A，即C⊆A。

充分性，若C⊆A，则A∪C=A，所以（A∩B）∪C=（A∪C）∩（B∪C）=A∩（B∪C）。

40.（1）已知A∪B=A∪C，是否必须B=C？

（2）已知A∩B=A∩C，是否必须B=C？

（3）已知A⊕B=A⊕C，是否必须B=C？

解：（1）不一定，例如A={a}，B={a，c}，C={c}，则有A∪B=A∪C，而B≠C。

（2）不一定，例如A={a}，B={a，b}，C={a，c}，则有A∩B=A∩C，而B≠C。

（3）B=C。因为A⊕B=A⊕C，则A⊕（A⊕B）=A⊕（A⊕C），有（A⊕A）⊕B=（A⊕A）⊕C=⊕B=B=⊕C=C，所以必有B=C。

41.设A，B，C是任意集合，证明：

(1)(A∪B)∩(B∪C)∩(C∪A)=(A∩B)∪(B∩C)∪(C∩A);

(2)(A∪B)∩(B∪C)∩(C∪A)=(A∩B)∪(B∩C∩)∪(A∩C∩);

(3)((A∪B∪C)∩(A∪B))-((A∪(B-C))∩A)=B-A。

证明：（1）（A∪B）∩（B∪C）∩（C∪A）

=((A∩C)∪B)∩(C∪A)

=(A∩C∩(C∪A))∪(B∩(C∪A))

=(A∩C)∪(B∩C)∪(B∩A)

=(A∩B)∪(B∩C)∪(C∩A)。

（3）利用吸收律，得：

42.已知集合A，B，C 满足：

A ∩C ⊆B ∩C,A-C ⊆B-C

证明：A⊆B。

证明：对任意的x∈A，则

（1）若x∈C，则x∈A∩C，而A∩C⊆B∩C，所以x∈B∩C，故x∈B；

（2）若x∉C，则x∈A-C，而A-C⊆B-C，所以x∈B-C，故x∈B。

综上可得，x∈B，所以A⊆B。

43.（1）设A⊆B，C⊆D，那么，一定有A∪C⊆B∪D 吗？ 又是否A∩C⊆B∩D 一定成立？

（2）设A⊂B，C⊂D，那么，一定有A∪C⊂B∪D 吗？ 又是否A ∩C⊂B ∩D 一定成立？

解：（1）对于任意的x∈A∪C，则x∈A 或x∈C，

若x∈A，而A⊆B，B⊆B∪D，则x∈B∪D，

若x∈C，而C⊆D，D⊆B∪D，则x∈B∪D，

可见，若x∈A∪C，则必有x∈B∪D，因此，A∪C⊆B∪D 一定成立。

易证，A∩C⊆B∩D 也一定成立。

（2）A∪C⊂B∪D 不一定成立。

例如，A={a}，C={b}，B=D={a，b}，显然，A⊂B，C⊂D，而A∪C=B∪D。

所以，一般地，当A⊂B，C⊂D 时，可推出A∪C⊆B∪D。

A∩C⊂B∩D 也不一定成立。

例如，A={a，b}，B={a，b，c}，C={b，d}，D={b，d，e}，显然，A⊂B，C⊂D，而A∩C=B∩D。

所以，一般地，当A⊂B，C⊂D 时，可推出A∩C⊆B∩D。

44.设A，B 是集合，证明以下各式中每个关系式彼此等价：

(1)A⊆B,⊆,A∪B=B,A∩B=A;

(2)A∩B=,A⊆,B⊆;

(3)A=B,A⊕B=。

证明：（1）若A⊆B，对任意的x∈，则x∉B，由A ⊆B，有x∉A，x∈，所以，⊆。

若⊆，对任意的x∈A∪B，则x∈A 或x∈B。如果x∈A，x∉，由⊆，得x∉，x∈B，故A∪B⊆B；如果x∈B，亦有A∪B⊆B。

而B⊆A∪B，所以A∪B=B。

若A∪B=B，对任意的x∈A，因为A⊆A∪B，而A∪B=B，有x∈B，故x∈A∩B。于是A⊆A∩B。又因为A∩B⊆A，所以A∩B=A。

若A∩B=A，因为A∩B⊆B，故A⊆B。

综上可有：A⊆B⇔⊆⇔A∪B=B⇔A∩B=A。

（2）若A∩B=，对任意的x∈A，由A∩B=，可知x∉B，即x∈，所以A⊆。

若A⊆，由（1）可得，⊆，即B⊆。

若B⊆，假设存在x∈A∩B，则x∈A 且x∈B，由B⊆，得x∈，x∉A，与x∈A 矛盾，所以A∩B=。

综上可有：A∩B=⇔A⊆⇔B⊆。

（3）若A=B，有

若A⊕B=，因为A⊕A=，所以A⊕A=A⊕B，故A=B（参见习题40）。

综上可有：A=B⇔A⊕B=。

45.设Ai 是实数集合，它被定义为：

证明：。

证明：首先证明。

对任意的，则必存在某个正整数k，使x∈Ak，即x≤1-，则x＜1，故x∈A0。

最后证明。

对任意的x∈A0，即x＜1，则存在q＞0，使x=1-q，令表示不超过的最大整数），则x≤1-，即x∈Ak，所以，故有。

综上可得，。

46.设Bi 是实数集，它被定义为：

证明：B0=。

证明：先证。

对任意的x∈B0，即x≤1，对任意的i，均有x＜1+，故对任意的i，x∈Bi，所以

再证。

对任意的，则x∈Bi（i=1，2，…），故对任意的i，都有x＜1+，则必有x≤1成立。

假设x＞1，则存在q＞0，使x=1+q，令，则，故x∉Bk，与x∈Bi（i=1，2，…）矛盾。因此x≤1，故x∈B0，所以。综上可得，B0=

47.若A∩B≠，求证：。

(A∩B)×(A∩B)=(A×A)∩(B×B)=(A×B)∩(B×A)

证明：对任意的（x，y）∈（A∩B）×（A∩B），有x∈A∩B，y∈A∩B，x∈A 且x∈B，y∈A 且y∈B，得x∈A，y∈A 且x∈B，y∈B，于是（x，y）∈A×A 且（x，y）∈B×B，即（x，y）∈（A×A）∩（B×B），所以（A∩B）×（A∩B）⊆（A×A）∩（B×B）。

对任意的（x，y）∈（A×B）∩（B×A），则（x，y）∈A×B，且（x，y）∈B×A，（x，y）∈A，（x，y）∈B，故（x，y）∈A∩B，所以（x，y）∈（A∩B）×（A∩B），故（A×A）∩（B×B）⊆（A∩B）×（A∩B），所以（A∩B）×（A∩B）=（A×A）∩（B×B）。

对任意的（x，y）∈（A∩B）×（A∩B），有x∈A∩B，y∈A×B，x∈A 且x∈B，y∈A 且y∈B，得x∈A，y∈B 且x∈B，y∈A，于是（x，y）∈A×B 且（x，y）∈B×A，即（x，y）∈（A×B）∩（B×A），所以（

A×A)∩(B×B)⊆(A×B)∩(B×A)。

反之，对任意的（x，y）∈（A×A）∩（B×B），有（x，y）∈A×A 且（x，y）∈B×B，故（x，y）∈A 且（x，y）∈B，所以（x，y）∈A∩B，故（x，y）∈（A∩B）×（A∩B），（A×B）∩（B×A）⊆（A∩B）×（A∩B），所以（A∩B）×（A∩B）=（A×B）∩（B×A）。

48.若A∩B≠，求证：

(1)(A∪B)×(A∩B)⊆(A×A)∪(B×B);

(2)(A∩B)×(A∪B)⊆(A×A)∪(B×B)。

证明：（1）对任意的（x，y）∈（A∪B）×（A∩B），则x∈A∪B，y∈A∩B，有x∈A 或x∈B，y∈A 且y∈B，得x∈A，y∈A 或x∈B，y∈B，故（x，y）∈A×A 或（x，y）∈B×B，即（x，y）∈（A×A）∪（B×B），所以（A∪B）×（A∩B）⊆（A×A）∪（B×B）。

（2）对任意的（x，y）∈（A∩B）×（A∪B），则x∈A∩B，y∈A∪B，有x∈A 且x∈B，y∈A 或y∈B，得x∈A，y∈A 或x∈B，y∈B，故（x，y）∈A×A 或（x，y）∈B×B，即（x，y）∈（A×A）∪（B×B），所以（A∩B）×（A∪B）⊆（A×A）∪（B×B）。