定义3.3.5 设（X，→， 0）是FI代数且∅≠F ⊆X.如果F满足：
（Fil1）1∈F；
（PIFil1）对任意的x，y，z∈X，如果z∈F且z→（（x →y）→x ）∈F蕴涵x∈F，则称F是X的正关联滤子（positive implicative filter）.由X的全体正关联滤子构成的集合记为PIFil（X）.
例3.3.5 设X=｛0，a， b， c，1｝，定义X上二元运算“→”如表3.11所示.
表3.11 X上二元运算“→”的定义
可以利用如图3.16所示的Mathematica程序验证（X，→， 0）是一个非正则的FI代数（程序中仅验证条件（FI1）、（FI2）和（FI4），条件（FI3）和（FI5）是显然成立的）.
图3.16 验证（X，→， 0）是非正则FI代数的Mathematica程序
令F=｛a，b， c，1｝，则可利用如图3.17所示的Mathematica程序验证F∈PIFil（X ）.
图3.17 验证F∈PIFil（X）的Mathematica程序
定理3.3.19 设（X，→， 0）是FI代数，则X的任一正关联滤子都是X的MP滤子.
证明 设F∈PIFil（X），则有F满足（Fil1）和（PIFil1）.对任意的x，y∈X，设x∈F且x→y∈F，则由（FI6）和（FI7）得x∈F且x→（（y→1）→y ）=x →y ∈F，故再由（PIFil1）便得y∈F，因此F∈Fil（X）.
定理3.3.20 设（X，→， 0）是FI代数，则X的任一正关联滤子都是X的关联滤子.
证明 设F∈PIFil（X ）且对任意的x，y，z∈X有x→（y →z ）∈F且x→y∈F.因为由（FI1）和（FI10）得
由定理3.3.19得F∈Fil（X），所以由x→（y →z ）∈F 和（Fil3）得
从而再由x→y∈F和（Fil2）得x→（x →z ）∈F.又因为由（FI1）和（FI13）得
所以（（x →z）→z）→（x →z ）∈F .故由（Fil1）和（FI7）又得
从而由（PIFil1）便得x→z∈F，即F满足（IMFil1），因此由定义3.3.4得F∈IMFil（X）.
注3.3.8定理3.3.20的逆命题不真，即X的关联滤子不必是X的正关联滤子.例如，设X=｛0，a， b， c，1｝，定义X上二元运算“→”如表3.12所示.
表3.12 X上二元运算“→”的定义
可以利用如图3.18所示的Mathematica程序验证（X，→， 0）是一个非正则的FI代数（程序中仅验证条件（FI1）、（FI2）和（FI4），条件（FI3）和（FI5）是显然成立的）.
图3.18 验证（X，→， 0）是非正则FI代数的Mathematica程序
令F=｛a， c，1｝，则可利用如图3.19所示的Mathematica程序验证F∈IMFil（X）.但是F∉PIFil（X），事实上，
图3.19 验证F∈IMFil（X）的Mathematica程序
此外，由定理3.3.14知FI代数的任一关联滤子都是X的MP滤子，所以F∈Fil（X），故由F∉PIFil（X ）知FI代数的MP滤子亦不必是正关联滤子，即定理3.3.19的逆命题不真.
定理3.3.21 设（X，→， 0）是FI代数且F∈Fil（X），则下列各条等价：
（1）F∈PIFil（X）；
（2）对任意的x， y∈X，如果（x →y）→x ∈F ，则x∈F；
（3）对任意的x∈X，（C （x）→x）→x ∈F .
证明（1）⇒（2）：设F∈PIFil（X ）且对任意x， y∈X有（x →y）→x ∈F ，则有
而由F∈Fil（X）又得1∈F，因此由（PIFil1）便得x∈F，即（1）成立.
（2）⇒（3）：设（2）成立.对任意的x∈X，令α=（C （x）→x）→x ，则
故由（FI7）和F∈Fil（X）得（α→0）→α=1 ∈F ，故由（2）得(www.xing528.com)
（3）⇒（1）：设（3）成立且对任意的x，y，z∈X有z∈F且z→（（x →y）→x ）∈F ，则由F∈Fil（X）得（x →y）→x ∈F .因为0≤y，所以由（FI8）得x→0≤x→y ，从而（x →y）→x ≤（x→0）→x =C （x）→x ，进而由定义2.2.2和F∈Fil（X）得
再由（Fil2）又得C （x）→x∈F.又由（3）得（C （x）→x）→x ∈F ，故由（Fil2）便得x∈F，因此，由定义3.3.5便得F∈PIFil（X）.
定理3.3.22 设（X，→， 0）是FI代数，则X的任一正关联滤子都是X的交换滤子.证明 设F∈PIFil（X）且对任意的x， y∈X有y→x∈F.因为
所以x≤（（x →y）→y）→x ，从而由（FI8）得
令α=（（x →y）→y）→x，则
故由y→x∈F和F∈Fil（X）可得（α→y）→α∈F ，从而由定理3.3.21中（2）便得（（x →y）→y）→x=α∈F ，因此由定理3.3.10便得F∈CFil（X）.
注3.3.9定理3.3.22的逆命题不真，即X的交换滤子不必是X的正关联滤子.例如，考虑例3.3.3中所给FI代数（X，→， 0）和交换滤子F=｛1｝∈CFil（X），因为
所以（C （a）→a）→a ∉F=｛1｝，故由定理3.3.21中（3）知F∉PIFil（X）.
定理3.3.23 设（X，→， 0）是FI代数，则F∈PIFil（X ）当且仅当F∈IMFil（X ）且F∈CFil（X ）.
证明 必要性：设F∈PIFil（X ），则由定理3.3.20和定理3.3.22可知F∈CFil（X）且F∈IMFil（X）.
充分性：设F∈CFil（X）且F∈IMFil（X）.任取x， y∈X，设（x →y）→x ∈F ，由定理3.3.21中（2）可知只需证x∈F.事实上，因为由（FI11）知x ≤（x →y）→y ，所以由（FI8）得 （x →y）→x ≤（x →y）→（（x →y）→y），故由F∈Fil（X）和（Fil3）得（x →y）→（（x →y）→y ）∈F ，从而由F∈IMFil（X）和定理3.3.16中（2）可得
又因为由（FI14）得y≤x→y，所以由条件（FI8）可得（x →y）→x ≤y →x，故由F∈Fil（X）和条件（Fil3）可得y→x∈F，从而由F∈CFil（X）和定理3.3.10又可得（（x →y）→y）→x ∈F ，因此由F∈Fil（X）和（※※）便得x∈F.定理得证.
注3.3.10 在FI代数中，交换滤子与关联滤子之间不存在必然的蕴含关系.一方面，考虑例3.3.3中FI代数（X，→， 0）和交换滤子F=｛1｝∈CFil（X ），但F=｛1｝∉IMFil（X），这是因为b→（b →a）=1∈F且b →b=1∈F ，而b →a =b ∉F.另一方面，考虑注3.3.2中所给FI代数（X，→， 0），令G=｛1｝，则可利用如图3.20所示的Mathematica程序验证G=｛1｝∈IMFil（X ）.但G=｛1｝∉CFil（X），这是因为
图3.20验证G=｛1｝∈IMFil（X）的Mathematica程序
定理3.3.24 设（X，→， 0）是FI代数，则X的任一正关联滤子都是X的正则滤子和对合滤子.
证明 假设F∈PIFil（X ），则由定理3.3.22得F∈CFil（X），再由定理3.3.11便得F∈RFil（X ）.再由定理3.3.3又得F∈INFil（X）.
注3.3.11 定理3.3.24的逆命题不真，即FI代数的正则滤子和对合滤子都不必是正关联滤子.例如，注3.3.6中所给正则滤子F =｛c，1｝∈RFil（X ），从而F =｛c，1｝∈INFil（X ），但是因为F =｛c，1｝∉CFil（X ），从而由定理3.3.23知F =｛c，1｝∉PIFil（X ）.
定理3.3.25 设（X，→， 0）是FI代数，则F∈PIFil（X ）当且仅当F∈IMFil（X）且F∈INFil（X）.
证明 必要性：设F∈PIFil（X ），则由定理3.3.20和定理3.3.24可知F∈IMFil（X）且F∈INFil（X）.
充分性：设F∈IMFil（X）且F∈INFil（X）.为证F∈PIFil（X），由定理3.3.21知只需证对任意x∈X，（C （x）→x）→x ∈F .为此，令u =C （（C （x）→x）→x ），则
从而由1 ∈F∈Fil（X ）得u→（u→0）∈F.所以由F∈IMFil（X）和定理3.3.16（2）得
进而由F∈INFil（X）和定理3.3.2便得（C （x）→x）→x ∈F .定理得证.
定理3.3.26 设（X，→， 0）是FI代数，则F∈PIFil（X）当且仅当F∈IMFil（X）且F∈RFil（X）.
证明 必要性：设F∈PIFil（X ），则由定理3.3.20和定理3.3.24可知F∈IMFil（X）且F∈RFil（X）.
充分性：设F∈IMFil（X ）且F∈RFil（X ），则由定理3.3.3知F∈IMFil（X ）且F∈INFil（X ），因此由定理3.3.25便得F∈PIFil（X）.
注3.3.12 在FI代数中，正则滤子（对合滤子）与关联滤子之间不存在必然的蕴含关系.一方面，设X=｛0，a， b，1｝，定义X上二元运算“→”如表3.13所示，则（X，→， 0）是一个正则FI代数.故显然F=｛1｝∈RFil（X ），进而可知F=｛1｝∈INFil（X）.但是，F=｛1｝∉IMFil（X ），这是因为a→（a→0）=a →b=1∈F 且a →a=1∈F，然而a→0=b ∉F.
表3.13 X上二元运算“→”的定义
另一方面，考虑注3.3.2中所给的FI代数（X，→， 0），令G=｛b，1｝，则可以利用如图3.21所示的Mathematica程序验证G =｛b，1｝∈IMFil（X）.但由注3.3.2可知G =｛b，1｝∉INFil（X ），从而由定理3.3.3知亦有G =｛b，1｝∉RFil（X ）.
图3.21 验证G =｛b，1｝∈IMFil（X ）的Mathematica程序
定理3.3.27 （正关联滤子的扩张定理）设（X，→， 0）是一个FI代数，F ，G∈Fil（X ）且F⊆G.如果F∈PIFil（X ），则G∈PIFil（X）.
证明 设F∈PIFil（X ），则由定理3.3.23得F∈CFil（X）且F∈IMFil（X）.又因为G∈Fil（X）且F⊆G，则由定理3.3.12和定理3.3.18得G∈CFil（X）且G∈IMFil（X），于是再由定理3.3.23便得G∈PIFil（X）.
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