定义3.3.3 设（X，→， 0）是FI代数且∅≠F ⊆X .如果F满足：∀x，y，z ∈X ，
（Fil1）1∈F；
（CFil1）如果z∈F且z→（y →x ）∈F ，则（（x →y）→y）→x ∈F ，
则称F是X的一个交换滤子（commutative filter）.由X的全体交换滤子构成的集合记为CFil（X）.
定理3.3.9 设（X，→， 0）是FI代数，则X的任一交换滤子都是X的MP滤子.
证明 设F∈CFil（X），则由F满足（Fil1）和（CFil1）.对任意的x， y∈X，设x∈F且x→y∈F.因为由（FI7）可得x →y =x→（1→y ），所以x∈F且x→（1→y ）∈F，故由（CFil1）便得y=（（y→1）→1）→y ∈F .因此F∈Fil（X）.
例3.3.3设X=｛0，a，b，1｝，定义X上二元运算“→”如表3.9所示，则可以验证（X，→， 0）是一个FI代数.
表3.9 X上二元运算“→”的定义
令F=｛1｝，可利用如图3.12所示的Mathematica程序验证F∈CFil（X）.
图3.12 验证F∈CFil（X）的Mathematica程序
注3.3.5 定理3.3.9的逆命题不真，即X的MP滤子不必是X的交换滤子.例如，考虑注3.3.2中所给FI代数（X，→， 0），令F=｛1｝，则由注3.1.1知F∈Fil（X）.但是F∉CFil（X），事实上，因为
但是
同时，此例也说明在FI代数（X，→， 0）中， 不一定有｛1｝∈CFil（X）.
定理3.3.10 设（X，→， 0）是FI代数且F∈Fil（X），则F∈CFil（X）当且仅当F满足：
（CFil2）对任意的x，y∈X，如果y→x∈F，则（（x →y）→y）→x ∈F.
证明 必要性：设F∈CFil（X）且对任意的x，y∈X有y→x∈F，则由（FI7）得1→（y →x ）=y →x ∈F，从而有1∈F和（CFil1）便得（（x →y）→y）→x ∈F .
充分性：设F∈Fil（X）且对任意的x，y，z∈X有z∈F且z→（y →x ）∈F ，则由（Fil2）得y→x∈F，从而由（CFil2）得（（x →y）→y）→x ∈F .故F∈CFil（X）.
定理3.3.11 设（X，→， 0）是FI代数，则X的任一交换滤子都是X的正则滤子.
证明 设F∈CFil（X ），则对任意的x∈X，由（FI5）和（Fil1）得0→x=1∈F，从而由（CFil2）得
因此F∈RFil（X）.
推论3.3.2 设（X，→， 0）是FI代数，则X的任一交换滤子都是X的对合滤子.
证明 设F∈CFil（X），则由定理3.3.11可得F∈RFil（X），再由定理3.3.3便得F∈INFil（X）.
注3.3.6定理3.3.11和推论3.3.2的逆命题都不真，即X的正则滤子和对合滤子都不必是X的交换滤子.例如，考虑例3.3.1中所给FI代数（X，→， 0）和对合滤子F=｛c，1｝，可利用如图3.13所示的Mathematica程序验证，亦有F∈RFil（X）.但是，F∉CFil（X）.事实上，
图3.13 验证F∈RFil（X ）的Mathematica程序
定理3.3.12（交换滤子的扩张定理）设（X，→， 0）是一个FI代数，F ，G∈Fil（X）且F⊆G.如果F∈CFil（X），则G∈CFil（X）.
证明 设F∈CFil（X），任取x，y∈X，设y→x∈G.因为由（FI1）和（FI3）得
所以由F∈Fil（X）得y→（（y →x）→x ）∈F .又因为由（FI1）得
所以由（CFil2）和F⊆G得
故由y →x ∈G∈Fil（X）得（（（（y →x）→x）→y）→y）→x ∈G.又因为由（FI2）、（FI1）、（FI3）和（FI7）得
所以由（FI6）得
从而由定义2.2.2得(www.xing528.com)
所以由G∈Fil（X）和（Fil3）又得（（x→y）→y）→x ∈G.因此由定理3.3.10便得G∈CFil（X ）.
下面利用交换滤子的性质给出CFI代数的一些等价刻画.为此，首先证明如下引理：
引理3.3.1设（X，→， 0）是FI代数，则对任意的x，y，z∈X，下列各条等价：
（1）（（x →y）→y）→x =y →x ；
（2）（x →y）→y =（y →x）→x ；
（3）如果x →z ≤y →z 且z≤x，则y≤x；
（4）如果y≤x，则（x →y）→y ≤x.
证明 （1）⇒（2）：设（（x →y）→y）→x =y →x，则由（FI1）和（F3）得
类似可证（（y →x）→x）→（（x →y）→y）=1，所以由（FI4）便得（2）成立.
又因为由（FI2）和（FI12）得
所以由（FI6）又得（（（x →y）→y）→x）→（y →x）=1，因此由（FI4）便得（1）成立.
（2）⇒（3）：假设x →z ≤y →z 且z≤x，则有（x →z）→（y →z）=1且z→x=1，则由（FI1）和（FI7）及（2）得
故y≤x，即（3）成立.
（3）⇒（4）：设y≤x，因为由（FI11）得x →y≤（（x →y）→y）→y，所以由（3）便得（x →y）→y ≤x ，即（4）成立.
（4）⇒（2）：设（4）成立，因为由（FI11）得x ≤（y →x）→x，所以由（FI8）得（（y →x）→x）→y ≤x →y.又因为由（FI12）得y ≤（y →x）→x，所以再由（FI8）和（4）便得（x →y）→y≤（（（y →x）→x）→y）→y ≤（y →x）→x .利用类似的方法可证（y →x）→x ≤（x →y）→y ，因此（x →y）→y =（y →x）→x，即（2）成立.
引理3.3.2设（X，→， 0）是FI代数，则下列各条等价：
（1）｛1｝∈CFil（X）；
（2）X的任一MP滤子都是X的交换滤子；
（3）对任意的x，y，z∈X，（（x →y）→y）→x =y →x.
证明 （1）⇔（2）：由｛1｝∈Fil（X）和定理3.3.12直接可得.
（1）⇒（3）：设｛1｝∈CFil（X）且α=（y →x）→x.因为由（FI1）可得
所以由｛1｝∈CFil（X ）和（CFil2）得（（α→y）→y）→α∈｛1｝，即
又因为由（FI12）得x ≤（y →x）→x=α，所以由（FI8）得α→y ≤x →y ，进而又得（x →y）→y≤（α→y）→y ，于是
因此由（FI4）得（y →x）→x =（x →y）→y，进而由引理3.3.1便得（3）成立.
（3）⇒（1）：由定理3.3.10立即可得.
综合定义3.3.3、引理3.3.1和引理3.3.2立即可得：
定理3.3.13 设（X，→， 0）是FI代数.则下列各条等价：
（1）（X，→， 0）是CFI代数；
（2）｛1｝∈CFil（X）；
（3）X的任一MP滤子都是X的交换滤子；
（4）对任意的x， y∈X，（（x →y）→y）→x =y →x；
（5）对任意的x， y∈X，（x →y）→y =（y →x）→x；
（6）对任意的x，y，z∈X，如果x →z ≤y →z且z≤x，则y≤x；
（7）对任意的x， y∈X，如果y≤x，则（x →y）→y ≤x .
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