定义3.3.2 设（X，→， 0）是FI代数且F∈Fil（X）.如果F满足：
（RFil1）对任意的x∈X，CC （x）→x∈F，
则称F是X的正则滤子（regular filter）.由X的全体正则滤子构成的集合记为RFil（X）.
注3.3.3 设（X，→， 0）是正则FI代数且F∈Fil（X），则对任意的x∈X，
故由定义3.3.2知F∈RFil（X）.这表明正则FI代数的任一MP滤子都是正则滤子.
例3.3.2 设X=｛0，a，b， c，1｝，定义X上二元运算“→”如表3.7所示，则（X，→， 0）是一个FI代数.
表3.7 X上二元运算“→”的定义
令F=｛a，b， c，1｝，则可利用如图3.10所示的Mathematica程序验证F∈RFil（X ）.
图3.10 验证F∈RFil（X ）的Mathematica程序
定理3.3.3 设（X，→， 0）是FI代数，则X的任一正则滤子都是X的对合滤子.
证明 设F∈RFil（X ），则F∈Fil（X）且F满足（RFil1）.现在，设对任意的x∈X有CC （x）∈F，则由F满足条件（RFil1）可得CC （x）∈F且CC （x）→x∈F，从而由F∈Fil（X）及（Fil2）便得x∈F.因此由定理3.3.2便得F∈INFil（X）.
注3.3.4 定理3.3.3的逆命题不真，即X的对合滤子不必是X的正则滤子.例如，设X=｛0，a，b， c，1｝，定义X上二元运算“→”如表3.8所示，则（X，→， 0）是一个FI代数.
表3.8 X上二元运算“→”的定义
令F=｛1｝，则可利用如图3.11所示的Mathematica程序验证F∈INFil（X）.但是F∉RFil（X），事实上，CC （b）→b =c →b =b ∉F =｛1｝.
图3.11 验证F∈INFil（X ）的Mathematica程序
定理3.3.4 设（X，→， 0）是FI代数且F∈Fil（X），则下列各条等价：
（1）F∈RFil（X）；
（2） 对任意的x， y∈X，如果C （x）→C （y ）∈F ，则y→x∈F；
（3） 对任意的x， y∈X，如果C （x）→y∈F，则C （y）→x∈F.
证明（1）⇒（2）：设F∈RFil（X ）且对任意x，y∈X有C （x）→C （y ）∈F .因为
所以由（FI8）和（FI10）可得
故由F∈Fil（X）得（CC （x）→x）→（（C （x）→C （y））→（y →x））=1∈F.而由（RFil1）又得CC （x）→x∈F，从而由F∈Fil（X）得（C （x）→C （y））→（y →x ）∈F ，进而由C （x）→C （y ）∈F便得y→x∈F.
（2）⇒（3）：对任意的x，y∈X，设（2）成立且C （x）→y∈F.因为y≤CC （y），所以由（FI8）得可C （x）→y ≤C （x）→CC （y），故由F∈Fil（X）和命题3.1.1中（Fil3）得C （x）→C （C （y））=C （x）→CC （y ）∈F .因此，再由（2）便得C （y）→x∈F.
（3）⇒（1）：设（3）成立.则由F∈Fil（X）和（FI3）得C （x）→C （x）=1∈F ，故由（3）得CC （x）→x∈F，即F满足（RFil1），因此由定义3.3.2得F∈RFil（X）.
推论3.3.1 设（X，→， 0）是FI代数且F∈RFil（X ），则对任意的x∈X，x∈F当且仅当CC （x）∈F.(www.xing528.com)
证明 设F∈RFil（X）且对任意的x∈X有x∈F，则由（FI7）得
从而由定理3.3.4中（3）得CC （x ）=C （x）→0∈F.
反之，设F∈RFil（X）对任意的x∈X有CC （x）∈F，则由定理3.3.3和定理3.3.2便得x∈F.
定理3.3.5（正则滤子的扩张定理）设（X，→， 0）是FI代数，F ，G∈Fil（X）且F⊆G.如果F∈RFil（X），则G∈RFil（X）.
证明 设F∈RFil（X）且F⊆G，则对任意的x∈X，CC （x）→x ∈F ⊆G.又因为G∈Fil（X），所以由定义3.3.2便得G∈RFil（X）.
定理3.3.6 设（X，→， 0）是FI代数且∅≠F ⊆X ，则F∈RFil（X）当且仅当F满足：
（Fil1）1∈F；
（RFil2）∀x，y，z ∈X，若z∈F且z→（C （x）→C （y））∈F ，则y→x∈F.
证明 必要性：设F∈RFil（X），则F∈Fil（X）.从而，一方面有F满足（Fil1），另一方面，对任意的x，y，z∈X，设z∈F且z→（C （x）→C （y））∈F ，则由（Fil2）得C （x）→C （y ）∈F .因此由定理3.3.4中（1）便得y→x∈F，即F满足（RFil2）.
充分性：设∅≠F ⊆X 满足（Fil1）和（RFil2）.为证F∈RFil（X），由定理3.3.4知只需证明F∈Fil（X）且满足定理3.3.4中（2）即可.事实上，一方面，在（RFil2）中取z=1便得F满足定理3.3.4中（2）；另一方面，对任意的x， y∈X，设x∈F且x→y∈F，因为由（FI10）和定理2.2.2中（C4）得
所以x →y ≤C （y）→C （x ）=CC （x）→CC （y），从而由F满足（Fil1）得
故由x→y∈F和（RFil2）得CC （x）→CC （y ）=C （y）→C （x ）∈F，因此F满足：
当x→y∈F时，有CC （x）→CC （y ）∈F.
特别地，当x=1→x ∈F时，有CC （x）=1→CC （x ）=CC（1）→CC （x ）∈F.综上，当x∈F且x→y∈F时，有CC （x）∈F且CC （x）→CC （y ）∈F.
又因为CC （x）→（C （y）→C（1））=CC （x）→（C （y）→0）=CC （x）→CC （y ），所以
当x∈F且x→y∈F时，有CC （x）∈F且CC （x）→（C （y）→C（1））∈F，再由（RFil2）便得y=1→y ∈F.这就证明了F满足（Fil2），因此F∈Fil（X）.
定理3.3.7 设（X，→， 0）是FI代数且∅≠F ⊆X ，则F∈RFil（X）当且仅当F满足：
（Fil1）1∈F；
（RFil2）对任意x，y，z∈X，若z∈F且z→（C （x）→y ）∈F，则C （y）→x∈F.
证明 证明过程类似于定理3.3.6，这里从略.
定理3.3.8 设（X，→， 0）是FI代数.则下列各条等价：
（1）（X，→， 0）是正则FI代数；
（2）｛1｝∈RFil（X）；
（3）X的任一MP滤子都是X的正则滤子.
证明（1）⇒（2）：设（X，→， 0）是正则FI代数，则对任意的x∈X都有CC （x）=x，从而CC （x）→x=1 ∈｛1｝.又因为由注3.1.1知｛1｝∈Fil（X），所以｛1｝∈RFil（X）.
（2）⇒（3）：设F∈Fil（X），则由1∈F知｛1｝⊆F，故由定理3.3.5和｛1｝∈RFil（X）便得F∈RFil（X）.
（3）⇒（1）：设（3）成立，因为由注3.1.1知｛1｝∈Fil（X），所以｛1｝∈RFil（X），从而由（RFil1）知对任意的x∈X都有CC （x）→x∈｛1｝，因此CC （x）→x=1.又因为由定理2.2.3中（C2）得x≤CC （x），从而x →CC （x ）=1，故由（FI4）得CC （x）=x.因此（X，→， 0）是正则FI代数.
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