定义3.3.1 设（X，→， 0）是FI代数且∅≠F ⊆X.如果
（INFil1）1∈F；
（INFil2）对任意的x，y∈X，当x∈F且CC （x →y ）∈F时都有y∈F，则称F是X的一个对合滤子（involution filter）.由FI代数X的全体对合滤子构成的集合记为INFil（X）.
注3.3.1 设（X，→， 0）是正则FI代数且∅≠F ⊆X，则由定义3.1.1和定义3.3.1显然可知F∈Fil（X）当且仅当F∈INFil（X）.
例3.3.1 设X=｛0，a， b， c，1｝，定义X上二元运算“→”如表3.5所示.
表3.5 X上二元运算“→”的定义
可以利用如图3.7所示的Mathematica程序验证（X，→， 0）是一个非正则的FI代数（程序中仅验证条件（FI1）、（FI2）和（FI4），条件（FI3）和（FI5）是显然成立的）.
图3.7 验证（X，→， 0）是非正则FI代数的Mathematica程序
令F=｛c，1｝，则可利用如图3.8所示的Mathematica程序验证F∈INFil（X ）.
图3.8 验证F∈INFil（X ）的Mathematica程序
命题3.3.1 设（X，→， 0）是FI代数且F∈INFil（X），则下列结论成立：
（INFil3）对任意的x，y∈X，当x∈F且x≤y时都有y∈F.
证明 设F∈INFil（X ）且对任意x，y∈X有x∈F且x≤y，则x∈F且x→y=1，故由（INFil1）和定理2.2.3中结论（C1）可得CC （x →y ）=CC（1）=C（0 ）=1∈F ，因此，由x∈F和（INFil2）便得y∈F.(www.xing528.com)
定理3.3.1 设（X，→， 0）是FI代数，则X的任一对合滤子都是X的MP滤子.
证明 设F∈INFil（X），则由F满足（INFil1）知F满足（Fil1）.对任意的x， y∈X，设x∈F且x→y∈F，由定理2.2.3（C2）得x →y ≤CC （x →y），故由命题3.3.1和x→y∈F得CC （x →y ）∈F ，再由（INFil2）和x∈F得y∈F.因此，F∈Fil（X）.
注3.3.2 定理3.3.1的逆命题不真，即X的MP滤子不必是X的对合滤子.例如，设X=｛0，a，b，1｝，定义X上二元运算“→”如表3.6所示，则（X，→， 0）是FI代数.
表3.6 X上二元运算“→”的定义
令F=｛b，1｝，可用图3.9中的Mathematica程序验证F∈Fil（X）.但F∉INFil（X），事实上，b∈F且CC （b →a ）=CC （a）=1∈F ，但a∉F.
图3.9 验证F∈Fil（X）的Mathematica程序
定理3.3.2 设（X，→， 0）是FI代数且F∈Fil（X），则F∈INFil（X）当且仅当F满足：
（INFil4）对任意的x∈X，如果CC （x）∈F，则x∈F.
证明 必要性：设F∈INFil（X）且对任意的x∈X都有CC （x）∈F，则由（FI7）得
故由1∈F和（INFil2）便得x∈F，即F满足（INFil4）.
充分性：设F∈Fil（X）且满足（INFil4）.对任意x，y∈X，设CC （x →y ）∈F且x∈F，则由（INFil4）得x∈F且x→y∈F，从而由（Fil2）便得y∈F，因此由定义3.3.1便得F∈INFil（X ）.
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