定义3.1.1[12] 设（X，→， 0）是FI代数且∅≠F ⊆X.如果
（Fil1）1∈F；
（Fil2）对任意的x，y∈X，当x∈F且x→y∈F时都有y∈F，则称F是X的MP滤子（MP-filter）.由X的全体MP滤子构成的集合记为Fil（X）.
注3.1.1 设（X，→， 0）是FI代数，则由定义3.1.1显然｛1｝∈Fil（X）且X∈Fil（X）.
例3.1.1 设X=［0，1］，对任意的x， y∈X，定义X上的蕴涵算子“→”满足：
则0→0=1，（X，→， 0）是FI代数且（1/2，1］∈Fil（X），但［1/2，1］∉Fil（X）.因为
1/2∈［1/2，1］且1/2 →1/3 =max （1 -1/2，1/3） =max （1/2，1/3） =1/2 ∈［1/2，1］，但1/3∉［1/2，1］.值得注意的是，对此FI代数（X，→， 0）而言，有如下结论：
其中，α＞1/2且β≥1/2.
例3.1.2 设X=｛0，a， b，1｝，定义X上二元运算“→”如表3.1所示，则可以验证（X，→， 0）是一个FI代数.
表3.1 X上二元运算“→”的定义
令F=｛b，1｝，可利用如图3.1所示的Mathematica程序验证F∈Fil（X）.
图3.1 验证F∈Fil（X）的Mathematica程序
命题3.1.1 设（X，→， 0）是FI代数且F∈Fil（X），则下列结论成立：
（Fil3）对任意的x，y∈X，当x∈F且x≤y时都有y∈F.
证明 对任意的x， y∈X，设x∈F且x≤y，则由定义2.2.2得x∈F且x→y=1.因为F∈Fil（X），所以由（Fil1）得x∈F且x →y=1∈F ，故由（Fil1）得y∈F.
定理3.1.1 设（X，→， 0）是FI代数且∅≠F ⊆X ，则F∈Fil（X）当且仅当F满足（Fil1）和如下条件（Fil4）：
（Fil4）对任意的x，y，z∈X，如果x→y∈F且y→z∈F，则x→z∈F.
证明 充分性：设对任意的x，y，z∈X，F满足（Fil1）和（Fil4），则为证F∈Fil（X），只需证F满足（Fil2）.事实上，如果x∈F且x→y∈F，则由（FI6）得1 →x =x ∈F且x→y∈F，从而由（Fil4）便得y=1→y ∈F .因此由定义3.1.1得F∈Fil（X）.
必要性：设F∈Fil（X），则F满足（Fil1）和（Fil2）.对任意的x，y，z∈X，假设x→y∈F且y→z∈F，因为由（FI2）和（Fil1）得
所以由x→y∈F和（Fil2）得（y →z）→（x →z ）∈F，故由y→z∈F和（Fil2）便得x→z∈F，即F满足（Fil4）.定理得证.
定义3.1.2 设（X，→， 0）是FI代数，≤是由→导出的偏序关系且∅≠F ⊆X.如果F关于≤是下定向的上集，即F满足：
（1）对任意的x， y∈X，如果x∈F且y∈F，则存在z∈F使得z≤x且z≤y；
（2）对任意的x， y∈X，如果x∈F且x≤y∈F，则y∈F，则称F是X的偏序滤子（partially ordered filter）.(www.xing528.com)
例3.1.3 设X=［0，1］，对任意的x， y∈X，定义X上的蕴涵算子“→”满足：
则0→0=1，易证（X，→， 0）是正则FI代数且Fil（X）=｛｛1｝，X=［0，1］｝.注意到由→导出的偏序≤恰是通常的小于等于关系知［1/2，1］是X的偏序滤子，但［1/2，1］∉Fil（X）.这表明（正则）FI代数的偏序滤子不必是MP滤子.
定理3.1.2 设（X，→， 0）是正则FI代数，C是X上的伪补算子且∅≠F ⊆X，则F∈Fil（X）当且仅当F是偏序滤子且对任意的x， y∈X满足：
例3.1.4 设X=｛0，a，b，1｝，定义X上二元运算“→”如表3.2所示，则可以验证（X，→， 0）是一个FI代数.
表3.2 X上二元运算“→”的定义
令F=｛a，b，1｝，可利用如图3.2所示的Mathematica程序验证F∈Fil（X）.但F不是X的偏序滤子，事实上，因为a→b=b且b→a=a，所以a与b不可比较，故对a∈F且b∈F而言，不存在z∈F使得z≤a且z≤b，因此F不是下定向集.这又表明FI代数的MP滤子也不必是偏序滤子.
图3.2 验证F∈Fil（X）的Mathematica程序
下面再给出正则FI代数的MP滤子的几个等价刻画：
定理3.1.3设（X，→， 0）是正则FI代数且∅≠F ⊆X ，则F∈Fil（X）当且仅当F满足（Fil1）和如下条件（Fil5）：
表3.3 X上二元运算“→”的定义
令F1=｛a，1｝且F2=｛b，1｝，可利用如图3.3所示的Mathematica程序验证F1∈Fil（X）.
图3.3 验证F1∈Fil（X）的Mathematica程序
由→导出的偏序≤的Hasse图如图3.4所示：
图3.4 （X，→， 0）上由→导出偏序≤的Hasse图
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