模糊蕴涵代数-HFI代数

（HFI2）（x→（y →z））→（（x →y）→（x →z））=1；

（HFI3）如果1→x=1，则x=1；

（HFI4）如果x →y =y →x=1，则x=y；

（HFI5）0→x=1.其中，1=0→0.

例2.5.1设X=［0，1］，对任意的x， y∈X，定义x →y=sup｛z|min（x， z ）≤y ｝，则（X，→， 0）是HFI代数.蕴涵算子→即为Gödel蕴涵算子.

引理2.5.1 设（X，→， 0）是HFI代数，则对任意的x，y，z∈X，下列结论成立：

（1）x→x=1；

（2）x→1=1；

（3）1→x=x；

（4）如果x→y=1且y→z=1，则x→z=1.

证明 （1）因为由（HFI1）和y∈X的任意性得x→（（y →x）→x）=1，再由（HFI2）和y∈X的任意性得（x→（（y →x）→x））→（（x→（y →x））→（x →x ））=1，所以由（HFI3）得（x→（y →x））→（x →x）=1.又因为由（HFI1）得x→（y →x）=1，所以再由（HFI3）便得x→x=1.

（2）因为由（HFI1）得1→（x→1） =1，所以由（HFI3）便得x→1=1.

（3）因为由（HFI2）得

由（1）得（1→x）→（1→x）=1，故由（HFI3）得（（1→x）→1）→（（1→x）→x）=1.因为由（2）得（1→x）→1= 1，所以由（HFI3）得（1→x）→x =1.又x→（1→x ）=1，因此由（HFI4）便得1→x=x.

（4）设x→y=1且y→z=1，因由（HFI1）得（y →z）→（x→（y →z））=1，所以由y→z=1和（HFI3）得x→（y →z）=1，又因为由（HFI2）得(www.xing528.com)

所以由（HFI3）又得（x →y）→（x →z）=1，因此由x→y=1及（HFI3）便得x→z=1，这就证明了（4）成立.引理得证.

定理2.5.1 HFI代数都是FI代数.

证明 由引理2.5.3中条件（1）和（2）、引理2.5.3中条件（1）以及（HFI4）和（HFI5）立即可得.

（4）在（3）中令y=0得（x →0）→（（0→x）→x）=（0→x）→（（x→0）→0），即C （x）→x =CC （x），也即（4）成立.

注2.5.3 定理2.5.2中结论（4）表明HFI代数不必是正则的（此外，例2.5.1中的HFI代数不是正则的，可参见注2.4.4）.另一方面，如果HFI代数（X，→， 0）是正则的，即对任意的x∈X，CC （x）=x，则由定理2.5.2中结论（4）可得

这表明在正则HFI代数中运算⊥满足幂等律，进而

故（3）成立.

（3）⇒（1）：设（3）成立.比较FI代数的定义和HFI代数的定义可知，为完成结论证明，只需验证（HFI1）、（HFI2）和（HFI3）成立即可.

证明 由定理2.5.3和引理2.5.4知，为了完成定理的证明，只需证明对任意的x，y∈X，当引理2.5.4中5个条件之一成立时，有定理2.5.3中（2）和（3）中的两个等式之一成立即可.为此，下证对任意的x，y∈X，当x →C （x ）=C （x）时有x →y =x→（x →y）.事实上，由定理2.3.2中（3）和（FI1）得

Boole代数是经典二值命题演算的Lindenbaum代数，是二值逻辑推理的基础.下面我们将讨论HFI代数与Boole代数的联系.为此，首先给出Boole代数的定义.

定义2.5.2 设（L，≤）是一个有界分配格，0和1分别是L的最小元和最大元.如果存在L上的一个一元运算*：L→L满足条件：对任意的x， y∈L，

则称（L，≤，*，0，1）是Boole代数（Boole algebra），运算*称为L上的补算子（complement operator）.

例2.5.2在分配格（P（X），⊆）中对任意的A∈P（X）规定A* =X -A，则

其中，1=0→0且C （x）=x→0.