注2.3.4设（X，→， 0）是FI代数且a∈X，则PRa （X）≠∅.事实上，因为
N a Na （1）=（1→a）→a =a →a =1且N a N a（a）=（a →a）→a=1→a =a ，所以1∈PRa （X ）且a∈PRa（X ）.
定义2.3.4设（X，→， 0）是FI代数，a∈X，Na为X上的相对a-伪补算子.如果对任意的x∈X，当a≤x时都有N a N a （x）=x成立，即当a≤x时都有x∈PRa（X ），则称（X，→， 0）是相对a-正则Fuzzy蕴涵代数，简称为相对a-正则FI代数.
例2.3.3设X=｛0，a， b， c，1｝，定义X上二元运算“→”如表2.6所示.
表2.6 X上二元运算“→”的定义
可以利用如图2.5所示的Mathematica程序验证（X，→， 0）是一个FI代数（程序中仅验证条件（FI1）、（FI2）和（FI4），条件（FI3）和（FI5）是显然成立的）.
图2.5 验证（X，→， 0）是FI代数的Mathematica程序
我们计算N x Nx运算的结果如表2.7所示.
表2.7 X上运算N x Nx的计算结果
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另一方面，由（FI1）、（FI13）和（FI3）得
则PRa （X）⊆Xa.
下面给出相对a-正则FI代数的等价刻画.
证明 （1）⇔（2）：由定义2.3.4是显然的.
（2）⇒（3）：设PRa （X）=Xa，则对任意的x， y∈Xa，有（x →a）→a =x 且（y →a）→a =y ，所以由（FI1）便得
（3）⇒（2）：设对任意的x， y∈Xa，（x →a）→y =（y →a）→x，则由（FI7）和（FI3）得x=1→x =（a →a）→x =（x →a）→a =N a N a（x ），所以对任意的x∈X a都有x∈PRa （X ），故Xa ⊆PRa（X ）.再由注2.3.5便得PRa （X）=Xa.
（2）⇒（4）：设PRa （X）=X a，则对任意的x， y∈Xa，有（y →a）→a =y，所以（FI1）便得x →y =x→（（y →a）→a）=（y →a）→（x →a），即（4）成立.
（4）⇒（2）：设对任意的x， y∈Xa，x →y =（y →a）→（x →a），则由（FI7）得x=1→x =（x →a）→（1→a）=（x →a）→a =N a N a（x），所以对任意的x∈Xa有x∈PRa （X ），故Xa ⊆PRa（X ）.再由注2.3.5便得PRa （X）=Xa.定理得证.
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