基于对蕴涵算子D-P条件中10条性质和后来添加的3条性质的分析，为了揭示蕴涵算子的共同本质，作为对蕴涵算子代数化研究的一种探索，1990年，吴望名教授提出了Fuzzy蕴涵代数的概念[12].本节我们将具体介绍这一代数结构的定义和基本性质.
定义2.2.1称（2， 0）型代数（X，→， 0）为Fuzzy蕴涵代数（fuzzy implication algebra），简称FI代数（FI-algebra），如果对任意的x，y，z∈X有如下各条成立：
（FI1）x→（y →z ）=y→（x →z）；
（FI2）（x →y）→（（y →z）→（x →z ））=1；
（FI3）x→x=1;
（FI4）如果x →y =y →x=1，则x=y；
（FI5）0→x=1.其中，1=0→0.
例2.2.1设X=｛0｝，定义0→0=0（即1=0），则（X，→， 0）是FI代数.此FI代数称为平凡FI代数.
例2.2.2设X=｛0，1｝，对任意的x， y∈X，定义x →y=max （1-x， y ），其运算表如表2.1所示，则可以验证（X，→， 0）是FI代数.
表2.1 X上二元运算“→”的定义
例2.2.3设X=［0，1］，对任意的x，y∈X，定义x →y=min （1，1-x +y ），则可以验证（X，→， 0）是一个FI代数.蕴涵算子→即为Łukasiewicz蕴涵算子.
例2.2.4设X=［0，1］，对任意的x，y∈X，定义x →y=sup｛z|min（x， z ）≤y ｝，则可以验证（X，→， 0）是FI代数.蕴涵算子→即为Gödel蕴涵算子.
例2.2.5 设X=｛0，a， b， c，1｝，定义X上二元运算“→”如表2.2所示.
表2.2 X上二元运算“→”的定义
可以利用如图2.1所示的Mathematica程序验证（X，→， 0）是一个FI代数（程序中仅验证条件（FI1）、（FI2）和（FI4），条件（FI3）和（FI5）是显然成立的）.
图2.1 验证（X，→， 0）是FI代数的Mathematica程序
例2.2.6 设X=［0，1］，对任意的x， y∈X，定义x →y=min（x， y），即取蕴涵算子→为Mamdani蕴涵算子，则（X，→， 0）不是FI代数.
事实上，当x≠1时，x →x=min（x， x ）=x≠1，这表明→不满足（FI3），从而表明（X，→， 0）不构成FI代数.
例2.2.7 设X=［0，1］，对任意的x， y∈X，定义x →y=max （1-x， y），即取蕴涵算子→为Kleene-Diends蕴涵算子，则（X，→， 0）不是FI代数.
事实上，当0＜x＜1时，显然0 ＜1-x＜1，从而x →x=max （1-x， x）＜1，这表明→不满足（FI3），从而表明（X，→， 0）不构成FI代数.
例2.2.8 设X=［0，1］，对任意的x， y∈X，定义x →y=max （1-x，min（x ，y）），即取蕴涵算子→为Zadeh蕴涵算子，则（X，→， 0）不是FI代数.
事实上，当x=0.1，y=0.8，z=0.5时，有1-x =1 -0.1 =0.9，1-y=1 -0.8 =0.2，从而
但是
这表明x→（y →z ）≠y→（x →z ），即→不满足（FI1），故（X，→， 0）不构成FI代数.
定义2.2.2 设（X，→， 0）是FI代数.在X上定义一个二元关系≤满足：
则称≤是→诱导的关系.
定理2.2.1设（X，→， 0）是FI代数，≤是→诱导的关系，则对任意的x，y，z∈X，下列结论成立：
（FI6）x≤1，即，x→1=1；
（FI7）（左中立原则：left neutrality principle）1→x=x；
（FI8）如果x≤y，则z →x ≤z →y且y →z ≤x →z；
（FI9）如果x≤y且y≤z，则x≤z.
证明 （1）因为x→1=x→（0→x）=0→（x →x）=0 →1 =1，所以（FI6）成立.
（2）一方面，由（FI1）和（FI3）得另一方面，由（FI1）和（FI3）得
又因为由（FI6）得（1→x）→x ≤1，所以由定义2.2.2得（（1→x）→x）→1 =1，从而由（FI4）又得（1→x）→x =1.故综合两方面，再由（FI4）便得1→x=x.
（3）设x≤y，则由定义2.2.2得x→y=1.因为
所以由定义2.2.2得z →x ≤z →y .又因为
所以再由定义2.2.2又得y →z ≤x →z .因此（FI8）成立.
（4）设x≤y且y≤z，则由定义2.2.2和（FI2）可得1 =y →z ≤x →z .而由（FI6）又得x→z≤1，从而x→z=1，故由定义2.2.2便得x≤z.因此（FI9）成立.
注2.2.1 设（X，→， 0）是FI代数，≤是→诱导的关系，则由（FI3）、（FI4）和（FI9）可知（X，≤）是一个偏序集.同时，由（FI5）和（FI6）可知0和1分别为偏序集（X，≤）中的最小元和最大元.
定理2.2.2设（X，→， 0）是FI代数，≤是→诱导的关系，则对任意的x，y，z∈X，下列结论成立：
（FI10）y →z ≤（x →y）→（x →z）；
（FI11） x ≤（x →y）→y；
（FI12）y ≤（x →y）→y；(www.xing528.com)
（FI13）（（x →y）→y）→y =x →y；
（FI14）x→（y →x）=1；
（FI15）（（x →y）→（x →z））→（x→（y →z））=1.
证明 （1）由（FI1）和（FI2）得
所以由定义2.2.2便得y →z ≤（x →y）→（x →z），即（FI10）成立.
（2）由（FI1）和（FI3）可得x→（（x →y）→y）=（x →y）→（x →y）=1，所以由定义2.2.2便得x ≤（x →y）→y，即（FI11）成立.
（3）因为由（FI1）、（FI3）和（FI6）得
所以由定义2.2.2便得y ≤（x →y）→y ，即（FI12）成立.
（4）一方面，因为由（FI11）得x ≤（x →y）→y ，所以由（FI8）和定义2.2.2得
另一方面，因为由（FI7）、（FI2）以及定义2.2.2得
所以再由定义2.2.2得（x →y）→（（（x →y）→y）→y）=1.因此，综合两方面由（FI4）便得（（x →y）→y）→y =x →y，即（FI13）成立.
（5）由（FI1）、（FI3）和（FI6）得
即（FI14）成立.
（6）因为由（FI1）、（FI2）、（FI10）和（FI14）得
所以（（x →y）→（x →z））→（x→（y →z））=1，即（FI15）成立.
定义2.2.3 设（X，→， 0）是FI代数.在X上定义一元运算C：X→X满足：
称C为X上的伪补算子，并称C （x）为元素x的伪补（pseudo-complement）.
定理2.2.3 设（X，→， 0）是FI代数，C是X上的伪补算子，则对任意的x，y，z∈X，下列结论成立：
（C1）C（0 ）=1且C（1）=0；
（C2）x≤CC （x）；
（C3）如果x≤y，则C （y）≤C （x）；
（C4）CCC （x）=C （x）.
证明 （1）由（FI3）得C（0 ）=0 →0 =1，由（FI1）得C（1） =1 →0 =0.
（2）因为由（FI1）和（FI3）得
所以由定义2.2.2和定义2.2.3得x≤（（x→0）→0）=CC （x），因此（C2）成立.
（3）设x≤y，则x→y=1，从而由（FI7）和（FI2）得
故由定义2.2.2和定义2.2.3便得C （y ）=y→0≤x→0=C （x），因此（C3）成立.
（4）一方面，由（C2）显然可得C （x ）≤CC （C （x））=CCC （x）.另一方面，因为由（C2）得x≤CC （x），所以由（C3）得CCC （x ）=C （CC （x））≤C （x）.综合两方面以及≤的反对称性便得CCC （x）=C （x），因此（C4）成立.
定义2.2.4 设（X，→， 0）是FI代数，C是X上的伪补算子，如果x∈X满足：
则称x为X的正则元（regular element）.由X的全体正则元构成的集合记为Re（X）.
注2.2.2 设（X，→， 0）是FI代数，C是X上的伪补算子，则由定理2.2.3显然有：
（1）0∈Re（X）且1∈Re（X）；
（2）对任意的x∈X，C （x）∈Re（X）.
定义2.2.5 设（X，→， 0）是FI代数，∅≠A ⊆X.如果对任意的x，y∈A都有x→y∈A，则称A是X的FI子代数.由X的全体FI子代数构成的集合记为SA（X）.
定理2.2.4 设（X，→， 0）是FI代数，则Re（X）∈SA（X）.
证明 设x，y∈Re（X），则CC （x）=x且CC （y）=y，从而，一方面有
所以由定义2.2.2得CC （x →y ）≤x →y .另一方面，由（C2）又得x →y ≤CC （x →y）.所以综合两方面以及≤的反对称性便得
故x →y∈Re（X）.因此Re（X）∈SA（X）.
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