模糊蕴涵代数中的泛代数和三角模

本节给出泛代数和三角模的基本概念和结论.

定义1.6.1设X是一个非空集合，则

（1）X上的0元运算是X中的一个元素；

（2）X上的1元运算是X上的一个自映射f：X→X；

（3）X上的2元运算是X上的一个2元函数f：X ×X→X ；

（4）X上的n元运算是X上的一个n元函数f ：Xn→X，n≥1.

注1.6.1 0元运算也可理解为映射f ：X0→X，这里X0表示仅含一个元素（比如∅）之集，这时f被它的像，也即X中的一个元素所确定.

定义1.6.2 设T是一个非空集合，ar ：T→是映射，则称（T，ar）为型，并令

（3）a⊗1=a；(www.xing528.com)

（4）b≤c蕴涵a ⊗b ≤a ⊗c ，

则称⊗是［0，1］上的三角模（trigonometric norm），简称t-模.

例1.6.1 可以验证，按如下方式给出的二元算子⊗都是三角模：对任意的a， b∈［0，1］，

（1）Łukasiewicz三角模：a ⊗b =（a +b-1） ∨0；

（2）Gödel三角模：a ⊗b =a ∧b；

（3）乘积三角模：a⊗b=ab；

定义1.6.5 设⊗：［0，1］2→［0，1］是三角模，如果对任意的a∈［0，1］满足

则称→是与⊗相伴随的蕴涵算子，并称（⊗，→）是伴随对（associate pair）.