定义1.4.1 设X是一个集合，T是X的一个子集族.如果T满足如下条件：
则称T是X的一个拓扑（topology）.
定义1.4.2 设T是集合X的一个拓扑，则称偶对（X ，T）是一个拓扑空间（topological space）.此时，拓扑T中的每一个元素都称为拓扑空间（X ，T）（或X）中的一个开集（open set）.X中的开集的补集称为X中的闭集（closed set）.
注1.4.1 经过简单的归纳立即可见，定义1.4.1中的条件（2）蕴涵着：
例1.4.1 设X是一个集合.令
容易验证T是X的一个拓扑，称之为X的平庸拓扑，并称拓扑空间（X ，T）为平庸空间.在平庸空间（X ，T）中，有且仅有两个开集，即X本身和空集∅.
例1.4.2 设X是一个集合.令
容易验证T是X的一个拓扑，称之为X的离散拓扑，并称拓扑空间（X ，T）为离散空间.在离散空间（X ，T）中，集合X的每一个子集都是开集.
定义1.4.3 设X和Y是两个拓扑空间，φ：X →Y.如果Y中每一个开集U的原像φ-1 （U）都是X中的一个开集，则称f是从X到Y的一个连续映射（continuous mapping）.
定义1.4.4 设（X ，T）是一个拓扑空间，B是T的一个子集族.如果T中的每一个元素（即拓扑空间（X ，T）中的每一个开集）都是B中某些元素的并，即对每一个U∈T，存在｛Bλ|λ∈Λ｝⊆B使得
则称B是拓扑T的一个基（base），或称B是拓扑空间（X ，T）的一个基.
如果拓扑空间（X ，T）有一个可数基，则称（X ，T）是满足第二可数性公理的空间或A2空间.
定理1.4.1 设X是一个集合，B是X的一个子集族，即B ⊆P（X）.若B满足
是集合X的唯一的一个以B为基的拓扑.反之，如果X的一个子集族B是X的某个拓扑的基，则B一定满足条件（1）和（2）.
定义1.4.5 设（X ，T）是一个拓扑空间，S是T的一个子集族.如果S的所有非空有限子族之交构成的集族，即
是拓扑T的一个基，则称S是T的一个子基，或称S是拓扑空间（X ，T）的一子基.(www.xing528.com)
定理1.4.2 设X是一个集合，S是X的一个子集族，即S⊆P（X ）.如果
则X有唯一的一个拓扑T以S为子基.并且若令
则
定义1.4.6 设A是一个集族，Y是一个集合.集族
称为集族A在集合Y上的限制，记为A|Y.
定理1.4.3 设（X ，T）是一个拓扑空间，Y是X的一个子集.则集族T|Y是Y上的一个拓扑.
定义1.4.7 设（X ，T）是一个拓扑空间，Y是X的一个子集.Y上的拓扑T|Y称为（相对于X的拓扑T而言的）相对拓扑；拓扑空间（Y ，T|Y ）称为拓扑空间（X ，T）的一个（拓扑）子空间.
定义1.4.8 设（X ，T）是一个拓扑空间，x∈X.如果U是X的一个子集，且满足条件：存在一个开集V∈T使得x∈V⊂U，则称U是点x的一个邻域.特别地，如果U是包含着x的一个开集，则U一定是点x的一个邻域，称U为点x的一个开邻域.由点x∈X的所有邻域构成的X的子集族U x称为点x的邻域系.如果点x的邻域系U x的子族V x满足：对每一个U∈Ux ，存在V∈Vx 使得V⊆U，则称V x是点x的一个邻域基.
如果拓扑空间（X ，T）的每一点处都有可数邻域基，则称（X ，T）是满足第一可数性公理的空间或A1空间.
关于邻域基，有如下结论成立：
命题1.4.1 设（X ，T）是一个拓扑空间且x∈X.如果B是拓扑空间（X ，T）的一个基，则Bx =｛B∈B|x ∈B｝是点x的一个邻域基.
本小节的最后，我们介绍拓扑空间（X ，T）的几个特殊子集：
定义1.4.9 设（X ，T）是一个拓扑空间且A⊆X.
（3）如果集合A是点x的一个邻域，则称点x是集合A的一个内点（interior point）.由集合A的所有内点构成的集合称为A的内部（interior），记为i （A）.可以证明：集合A的内部等于包含于A的所有开集的并集，即
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