关系的定义及性质，笛卡尔积的概念

为了给出关系的定义，我们首先定义笛卡尔积的概念.

定义1.2.1 设X和Y是两个集合.集合

集合X与其自身的笛卡尔积X×X称为X的二重（笛卡尔）积，通常记为X2.

需要注意的是，一般来讲，集合X与集合Y的笛卡尔积X×Y完全不同于集合Y与集合X的笛卡尔积Y×X.

定义1.2.2 设X和Y是两个集合.如果R是X与Y的笛卡尔积X×Y的子集，即

则称R是从X到Y的一个关系.

定义1.2.3 设R是从集合X到集合Y的一个关系，即R⊆X×Y.如果（x， y）∈R，则称x与y是R相关的，记为xRy.

定义1.2.4 设X是集合.称从集合X到集合X的一个关系为集合X中的一个关系.

定义1.2.5 设R是集合X中的一个关系.

（1）称关系R满足自反性（reflexivity），如果∀x∈X都有xRx；(www.xing528.com)

（2）称关系R满足对称性（symmetry），如果∀x，y ∈X ，xRy⇒yRx；

（3）称关系R满足反对称性（antisymmetry），如果∀x， y ∈X ，xRy且yRx⇒x=y；

（4）称关系R满足传递性（transitivity），如果∀x，y，z ∈X ，xRy且yRz⇒xRz.

定义1.2.6 设R是集合X中的一个关系.如果R同时是自反的、对称的和传递的，则称R为集合X上的一个等价关系.

定义1.2.7 设R是集合X中的一个等价关系.若集合X中的点x和y满足xRy，则称x与y是R等价的，或简称为等价的.

对任意的x∈X，集合X的子集

称为集合X相对于等价关系R而言的商集，记为X/R.

定理1.2.1 设R是非空集合X中的一个等价关系，则