三条导线形成的扭面是不可展曲面

1.不可展曲面也称为扭面

（1）扭面的形成——一直母线沿着三条导线运动而形成的曲面，称为扭面。

如图8-54所示，设有三条导线A、B和C，它们可以是曲线或直线，当一条直母线沿着A，B，C运动时，将形成一个扭面。

图8-53　切线曲面

图8-54　扭面的形成

扭面的素线作法：要确定素线的位置，可在任一导线如A上任取一点A1，A1与B，C可各形成一个锥面，这两个锥面因公有一顶点A1，它们的交线L1必与A，B，C交于A1，B1，C1三点，故L1就是扭面的一条素线。同法可作出许多素线来形成一个扭面。

如导线中有一条是直导线，则通过该直导线的任一平面，与另外两导线各交于一点，则这两个交点的连线，必与该直导线也相交于一点，故为扭面的一素线。

（2）扭面特性——扭面是不可展曲面。因为按上述方法形成的扭面，其相邻两素线是交叉直线，不能组成一个狭窄平面，整个扭面也就不能展开成一个平面，故扭面为不可展曲面。但是，扭面是直线面，在工程中可由直线状构件来组成曲面而为其优点。

[例8-21] 图8-55所示的曲面为单叶双曲面。它可以视为由直母线L沿着作为导线的三个椭圆A1，A2和A3运动所形成。由于每条直母线可有两个倾斜位置，故曲面上存在着两族素线。其中，同族素线中每两条素线呈交叉位置，且不同时平行于一个平面，但却能与异族曲线相交。故通过单叶双曲面上任一点，必有属于异族的两条素线。因此，一个单叶双曲面也可由一条直母线L沿着不平行于同一平面的三条交叉直导线来形成。

图8-55为单叶双曲面的投影图。该单叶双曲面对称于导线A2所在的水平面，故素线的H面投影切于a2。导线A1和A3也对称于A2所在平面，故它们的H面投影重影。

图8-55　单叶双曲面

图8-56　扭面的应用——斜涵洞

[例8-22] 图8-56为由扭面形成的斜涵洞，导线A、B是平行V面的两个等大的半圆，圆心为OA，OB；导线C是一条V面垂直线，并通过轴线OAOB的中点M。

因c′有积聚性，故所有素线的V面投影通过c′。设过c′的直线，与a′，b′交于点1′，2′，由之定出1，2。则连线12（与c的延长线相交），1′2′为素线L1的H面、V面投影。

同样可作出其他一些素线的投影。其中，通过a′与b′交点3′4′处素线积聚成一点，故L2为V面垂直线，因而与C平行，可视为与C交于无穷远处。

图中并作了垂直于轴线OAOB的辅助投影面V1上的辅助投影。除了重影的两个半圆A和B的辅助投影半椭圆外，还作出了一些素线的辅助投影，如等。它们的包络线，即为扭面的辅助投影外形线，显然其净高h小于导线半圆的半径。

（3）具有导平面的扭面——当三条导线中的一条为直线或为平面曲线，且位于无穷远时，则交于该导线的所有素线，与这导线交于无穷远处，于是可理解为这些素线将平行于直线和平面曲线所在的平面，该平面成为曲面的导平面。因而，这时的扭面就成为：一条直母线沿着两条导线且平行于一个导平面运动而形成。

具有导平面的扭面，因两条导线为直线或曲线的不同，共有三种：翘平面、锥状面和柱状面。

2.翘平面

一直母线沿着两条交叉直导线且平行一导平面运动而形成的曲面，称为翘平面或双曲抛物面。

图8-57中，以一对交叉直线K1和K5为导线，H面垂直面P为导平面，直线L为母线。当L沿着K1，K5且平行P运动时，则素线L1，L2，…所形成的曲面是一个翘平面。在H面投影中，l1∥l2∥…∥p；V面投影的外形线，为切于，…的包络线，是一条抛物线。

也可以L1，L5为导线，另一个平行于K1，K5的H面垂直面Q为导平面，母线K沿着L1，L5且平行Q面运动时，也可以形成同一个翘平面。

图8-57（b）中作出了翘平面上一点A的投影，该点位于曲面的一素线L2上。如已知其H面投影a，则可过a作一素线的H面投影如l2∥p。再求出，即可定出V面投影a′；但若已知其V面投影a′，则不能直接定出a，作图时，可先估计a的位置，试作一些素线的H面投影，再作出它们的V面投影，当其中一条如恰通过a′时，则a必在l2上。(www.xing528.com)

[例8-23] 图8-58（a）为翘平面应用于屋面之例。整个屋面可以视为由四片翘平面组成，并且都是以墙面作为它们的导平面。

图8-57　翘平面

图8-58（b）为翘平面应用于岸坡过渡处之例。该翘平面可将铅垂面P过渡到倾斜面Q。翘平面的导线是直线AB和CD，导平面是地面；或者导线是直线AC和BD，导平面是平行于AB和CD的铅垂面R。

图8-58　翘平面的应用

[例8-24] 如图8-59所示，求一个双曲抛物面扭壳基础表面与棱柱面的相贯线。

[解] 该基础顶面为四片双曲抛物面，上方为四棱柱。抛物面两个方向的导面和母线分别平行于四棱柱的直立棱面，故抛物面的素线平行于四棱柱的棱面，四棱柱的棱面与双曲抛物面必交于直素线。

3.锥状面

一直母线沿着一直导线和一曲导线且平行一导平面运动而形成的曲面，称为锥状面。

图8-60中，以直线A和曲线K为导线，H面为导平面，直线L为母线。当L沿着A和K且平行H面运动时，则素线L1，L2，…所形成的曲面是一个锥状面。因L1，L2，…均为H面平行线，故V面投影，…均为水平；又因导线A垂直H面，故素线的H面投影均通过积聚投影点a。

图8-59　双曲抛物面扭壳基础与立柱的相贯线

图8-60　锥状面

[例8-25] 图8-61所示为锥状面应用于桥台护坡之例。该锥状面的直导线为L，曲导线为圆弧K，导平面为P。

图8-61　锥状面的应用

4.柱状面

一直母线沿着两条曲导线且平行一导平面而形成的曲面，称为柱状面。

图8-62中，以曲线K1和K2为导线，H面垂直面P（p）为导平面，直线L为母线。当L沿着K1和K2且平行P面运动时，素线L1，L2，…形成的曲面是一个柱状面。在投影图中，因L1，L2，…均为H面垂直面P的平行线，故H面投影l1∥l2∥…∥p。

图8-62　柱状面

[例8-26] 图8-63所示为柱状面应用于隧道出口两侧的护坡之例。该柱状面的两条曲导线为K1，K2，导平面为出口正面P，左侧柱状面与右侧相对称。

图8-63　柱状面的应用