圆锥面与圆球面相切，求解贯穿点

图8-28　旋转单叶双曲面

以曲线为母线的旋转面，如图8-4所示，称为曲线旋转面。曲线旋转面又如上述由双曲线绕虚轴或实轴旋转来形成外，最常见的为以圆周为母线的旋转面，有圆球面和环面。

1.圆球面的形成和投影图——如图8-29所示，以圆周为母线，并以它的一条直径为轴线来旋转，则形成一个圆球面，简称球面或圆球。

母线圆周的圆心，成为球面的中心，称为球心。球面的直径长度，等于母线圆周的直径长度。过球心的平面与圆球交得的圆周，因大于不通过球心的平面与圆球交得的圆周（如纬圆），故称为大圆。大圆的直径长度等于圆球的直径长度。

图8-29　圆球面

球面上平行H面的大圆为赤道圆，平行V面、W面的大圆为主子午线，它们分别为平行各投影面的空间外形线，在对应投影面上的投影即为投影外形线，如H面投影为圆球上赤道圆的投影。

2.可见性——球面的投影，为球面上可见的和不可见的两个半球面的重影。如H面投影是可见的上半个和不可见的下半个球面的重影。

3.圆球面上点——球面上点可应用平行于投影面的圆周来定位。如图8-29（b）中，A点由纬圆L来定位，可以利用球面上圆周及由点的一个投影求另外的投影来求得，本图由a′求a，a″。

4.圆球面的近似展开——由于圆球面不是直线面，只能近似展开，下面介绍两种方法：

（1）柱面法：如图8-30（a），在H面投影中将圆12等分，为作图方便，将AB弧对应的弦AB垂直V面，另为使各小块近似平面（端部的ⅠAB为近似三角形，中部的ABDC…等为近似梯形）高度相等，在V面投影中将左半圆12等分（只作了上半的6等分），得等分点1′，2′，…，7′。向H面作连系线，得1，2，…，7，由此得反映实长的弧线ab，cd，ef…。

在每片柳叶形的近似平面中，Ⅰ0Ⅱ0=Ⅱ0Ⅲ0=…=Ⅵ0Ⅶ0=πR/12，A0B0、C0D0、E0F0…等于弧长。最后将A，C，E…及B，D，F分别连成光滑曲线，并作出对应的下半部分成一完整的柳叶片，共12片相同的柳叶构成了球面的展开图。

（2）锥面法：如图8-30（b）V面投影仅画出了上半个球面。①将上半圆弧左侧3等分，得1′，2′，3′，，其中1′2′，2′3′段球面近似圆台面（截去头的圆锥面），段球面近似圆锥面。②将二段近似圆台面和一段近似圆锥面展开成平面。上下半球各三段，共六段。

圆球面还有其他的近似展开方法，如足球表面可用五边形或六边形等近似平面拼接而成。分片、分段、分块越多则精确度越高。

5.圆球面的截交线和相贯线——圆球面与平面相交而形成的截交线，必为圆周。由于截平面平行、垂直和倾斜于投影面，截交线的投影分别为圆周、积聚成直线和椭圆。

图8-30　圆球面近似展开图

两个圆球面相交时，相贯线必为一个圆周，该圆周平面垂直于两球心的连线，且圆心在该线上。

[例8-13] 如图8-31所示，有一圆球面构成的屋面，球心为O（o，o′），图中V面投影为上半个球面，屋面支于距赤道圆上方h处的纬圆K（k，k′）上四点A，B，C，D处。该屋面被对称的两对H面垂直面所截，截交线为圆弧L1，L2，L3，L4。

图8-31　圆球面屋面(www.xing528.com)

圆弧L1的V面投影为椭圆弧：H面垂直面与半球面的截交线为半圆弧A1EB1，其V面投影将是由短轴和长半轴所构成的半椭圆弧为其中一段a′e′b′。同法可作出其余三条椭圆弧，可见性用重影点判别。f′，g′为与球面V面投影外形线的相切点。

[例8-14] 如图8-32所示，设有两片圆球面屋面P和Q，球心O1和O2的连线平行V面，P和Q的交线L所在的圆周平面垂直O1O2且垂直V面，L的圆心O3在O1O2的连线上。P，Q的V面投影外形线交于d′，L的V面积聚投影l′垂直。H面投影l为一段椭圆弧c1dc2。L所在圆周上垂直V面的直径AB的H面投影ab为l的长轴，O3D的H面投影o3d为l的短半轴。于是可作出交线L圆弧的H面投影椭圆弧l。

两个球面P和Q各被通过L上两点C1和C2的正垂面所截，截交线为圆弧LP和LQ，圆心OP和OQ分别为从O1和O2向Lp和LQ所在截平面所作垂线的垂足。LP和LQ的H面投影为椭圆弧lP和lQ，作法同l。

6.圆球面的贯穿点——如图8-33所示。求一般位置直线MN与圆球面的贯穿点。

过MN作垂直于H面的辅助截平面，与球面交得的辅助截交线是一个圆周，其H面投影与mn重合，V面投影将是一个椭圆。为了避免绘制辅助投影椭圆，现用投影变换法求解。

（1）辅助投影面法：图8-33（b），作平行MN的辅助投影面V1，则辅助截交线在V1上的投影为反映实形的圆周，其与交于，必为贯穿点A、B的辅助投影。由之可求出H面、V面投影a，b及a′，b′。

图8-32　两相交的圆球面屋面

（2）旋转法：如图8-33（c）所示，以通过球心的H面垂直线为旋转轴，把辅助截平面连同MN旋转到平行于V面。在旋转后的V面投影中，辅助截交线为反映实形的圆周，其与交于。然后旋转回去，得出a′，b′和a，b。

可见性：由H面和V面投影可知，A点在前上方的球面上，故a′和a可见，a′和a到球面的V面、H面投影外形线间的直线段为可见；B点在后下方的球面上，故b′，b均不可见，b′，b到球面的V面、H面投影外形线间的直线段均为不可见，应画成虚线。

7.球体的相贯线

[例8-15] 如图8-34所示，求正圆锥体与球体的相贯线。

[解] （1）相贯线形状：从V面投影可以看出，圆锥的底面与圆球不相交，故实为圆锥面与圆球面相贯。又从H面投影可以看出，两个曲面具有同一个平行V面的对称平面，故相贯线前后对称，其H面投影也前后对称，V面投影则前后重影。在V面投影中，球面与圆锥面的投影外形线相切于一点b′，故球面与圆锥面也相切于一点B。

图8-33　直线贯穿圆球

图8-34　圆锥体与圆球体相贯

（2）相贯点作法：以平行V面的对称平面作为辅助平面，与两曲面各交于平行V面的空间外形线，故两曲面的V面投影外形线的交点a′，e′及切点b′，为相贯点的V面投影，由之可求出H面投影a，e及b。

现作水平面为辅助平面，分别与两个曲面交成两个纬圆，它们的交点即为相贯点。如作通过球心的水平面与球面和锥面交得两纬圆，它们H面投影的交点c1，c2为两个相贯点的H面投影；由之可求出重影的V面投影。同法，再求出一些中间点如D1，D2，即可顺次连得相贯线。

一般情况下，每个辅助平面可求得两个相贯点。但当辅助平面从上或从下逐渐移向切点B时，这两个相贯点逐渐靠近，直到辅助平面通过点B时，两个点将重合成一点，称为二重点。故该点可视为相贯线上两个重合的点，因而相贯线必在该点自行相交。相贯线的V面投影在b′处与球面和锥面的投影外形线相切。

（3）可见性：相贯线的V面投影为可见和不可见部分的重影，故画成实线。H面投影中，由于位于下半球面的相贯线是不可见的，故画成虚线，可见不可见的分界点，为球面赤道圆上的相贯点C1，C2。