画法几何：直线和平面的六种基本变换

把直线和平面变换成特殊位置，可有六种基本情况：

情况一——辅助投影面平行一般位置直线，使一般位置直线的辅助投影反映实长和一个倾角。

如图5-5（a）所示，有一般位置直线AB。若设置V1面平行直线AB，且垂直于H面，则投影必反映直线AB的实长及倾角α。此时X1轴必定平行ab。

在投影图5-5（b）中，设已知ab与a′b′。首先，作任意远近的X1轴，使其平行于ab；其次，按点的辅助投影的基本作图法，求出来连成，即反映了AB实长；且与辅助投影轴X1及其平行线间的夹角，反映了直线的倾角α的实大。

图5-5　辅助投影面平行一般位置直线

若作出平行于AB且垂直于V面的辅助投影面H1，则除了求出直线的实长外，还求出倾角β（图略）。

情况二——辅助投影面垂直投影面平行线，使投影面平行线的辅助投影积聚成为一点。

如图5-6（a），有V面平行线AB。若设辅助投影面H1垂直直线AB，也必垂直V面。投影a1b1成为一点。此时辅助投影轴X1必垂直于a′b′。

在投影图5-6（b）中，已知ab和a′b′。作任意远近的X1轴，使其垂直于a′b′。按点的辅助投影作法，即可作得成积聚投影的一点a1b1。

图5-6　辅助投影面垂直V面平行线

情况三——辅助投影面垂直一般位置直线，使一般位置直线的辅助投影积聚成为一点。

如图5-7（a）所示，有一般位置直线AB。若设H2垂直AB，则辅助投影成为一点。由于AB为一般位置直线，故垂直AB的辅助投影面也是一般位置，不垂直于基本投影面H或V。故H2面不符合直接作为辅助投影面的条件，必须先有一个既垂直基本投影面之一又垂直于H2的辅助投影面作为过渡。此面既垂直H2，所以一定平行于垂直H2的直线AB。但此面可垂直于H面，也可垂直于V面甚至W面，只要平行AB即可。

图5-7　辅助投影面垂直一般位置直线

为此，如图中设先作一个平行于直线AB且垂直于H面的辅助投影面V1；然后再作第二个辅助投影面H2垂直AB也必垂直于V1面。故本情况实际上为情况一和情况二的合成。

在投影图5-7（b）中，已知ab与a′b′，先作X1∥ab，求出；再作X2⊥，即可作出积聚成一点的a2b2。

一般位置直线，也可先设H1∥AB且垂直V面，再作V2面垂直H1面和AB，求得成一点的投影。

情况四——辅助投影面垂直于一般位置平面，使一般位置平面的辅助投影成为一直线，并反映一个倾角。

当辅助投影面垂直于一般位置平面上一直线时，则辅助投影面垂直于该一般位置平面。当这条直线为一般位置平面上的一条一般位置直线时，需要连续二次变换，才能使辅助投影成为一直线；如这条直线为一般位置平面上某基本投影面的平行线时，则只要一次变换就能使辅助投影成为一直线，并能反映该一般位置平面与该基本投影面之间的倾角。(www.xing528.com)

如图5-8（a）所示，有一般位置平面△ABC。当辅助投影面V1垂直于△ABC上的一条直线AD时，也必垂直△ABC。若AD为一条H面平行线，则V1面必垂直于H面。此时，X1轴垂直于ad。

在投影图5-8（b）中，已知△abc及△a′b′c′。先在△ABC上作H面平行线如AD必为水平方向；然后作X1轴垂直ad，这时所作出的辅助投影必成一直线。该直线与辅助投影轴X1及其平行线间的夹角，反映了平面的倾角α。

图5-8　辅助投影面垂直一般位置平面

图5-9　辅助投影面平行投影面垂直面

若先在△ABC上作V面平行线，则与它垂直的、也与△ABC垂直的辅助投影面H1垂直V面，则作得的成一直线的投影a1b1c1，与辅助投影轴及其平行线间的夹角，反映了平面的倾角β。

如在△ABC上作一般位置直线时，则如情况三所述，需要进行两次变换，显然作图较繁。

情况五——辅助投影面平行投影面垂直面，使投影面垂直面的辅助投影反映实形。

如图5-9所示，有V面垂直面△ABC，其V面投影成一直线b′a′c′。若作辅助投影面平行于△ABC，则必垂直于V面，其辅助投影反映实形。

此时，X1轴平行△ABC的积聚投影b′a′c′，求出△a1b1c1，就反映了△ABC的实形。

情况六——辅助投影面平行一般位置平面，使一般位置平面的辅助投影反映实形。

如图5-10所示，有一般位置平面△ABC，求其实形。若辅助投影面平行△ABC，则辅助投影面反映实形。但是，该辅助投影面也为一般位置，它不垂直H面和V面，故不符合直接作为辅助投影面的条件，必须先有一个既垂直于该辅助投影面，又垂直于H面或V面的另一个辅助投影面作为过渡。显然，这个面必垂直于△ABC，故实际上为情况四和情况五的合成。

（1）在△ABC平面内作投影面平行线，现作正平线AⅠ，其两投影分别为a1及a′1′。

（2）作X1⊥a′1′，则在体系内平面成为铅垂面，其新的H1投影积聚成线a1b1c1。

第二次变换时，使X2∥a1b1c1，则在体系内△ABC平面变成正平面，其新的V2面投影反映△ABC的实形。

从平面的变换可见一般位置平面经一次变换投影面，可以变换V面也可以变换H面，就能变换为投影面垂直面。由此，可以求出一般位置平面与投影面所成的倾角，以及利用积聚性有关的很多定位问题。而一般位置平面经两次变换后即能方便地求出其实形，从而解决了其度量问题。

图5-10　辅助投影面平行一般位置平面