画法几何第六版：相交两直线与投影推论

1.两直线相交，它们的同名投影必相交，而且投影的交点中，每两个必位于同一条连系线上。

如图3-15（a），两直线AB和CD相交于点K。因K在AB上也在CD上，所以k必定在ab上，又在cd上，故k为ab和cd的交点。同样，k′为a′b′和c′d′的交点，以及k″为a″b″和c″d″的交点。又因k、k′和k″为同一点K的投影，故每两个投影必在同一条连系线上。图3-15（b）为投影图，连线kk′为一条连系线。

2.反之，若两直线的同名投影相交，且这些投影的交点中，每两点位于一条连系线上，则两直线在空间必相交。

图3-15　相交两直线

如图3-15（b），因k和k′在一条连系线上，故能定出空间点K；又因k和k′分别在ab和a′b′上，故K在AB上；又k和k′分别在cd和c′d′上，即K也在CD上，因而K必是AB和CD的交点，故AB与CD相交。

3.两条一般位置直线，只要任意两组同名投影符合上述条件，即可肯定两直线相交。如两直线中，只要有一条为某投影面的平行线，如要判别它们是否相交，应画出在该投影面上的同名投影才能确定，或者利用分比法来判定。

如图3-16（a）所示，因直线CD为W面平行线，虽然ab和cd交于一点k，a′b′和c′d′交于一点k′，且两点连线kk′为连系线方向，但如图3-8所述，首先仅由H面、V面投影还不能判别交点是否在CD上，因而就不能判别AB和CD是否相交。

图3-16　有一条W面平行线时两直线的相对位置(www.xing528.com)

现如图3-16（a）所示，作出了W面投影a″b″和c″d″后，可知AB和CD是相交的。但在图3-16（b）中，虽然ab和cd，a′b′和c′d′均相交，且两个交点连线方向也为连系线方向，但作出W面投影后，则知AB和CD是不相交的。

另外，也可利用分比法来判断，在图3-16（a）中，用类似图3-10的方法确认ck∶kd=c′k′∶k′d′，故AB上点K也在CD上，所以AB和CD相交。

[例3-8] 作一直线GH，使它和已知直线AB平行且和另两已知直线CD，EF均相交。

图3-17　作直线GH∥AB且与CD，EF相交

[解]

（1）根据两直线平行的投影特性可知GH∥AB，则gh∥ab，g′h′∥a′b′。点G在直线CD上，则g和cd重合。

（2）过g作直线平行ab与ef交于h，由h得h′，再由h′作直线平行a′b′与c′d′交于g′，则gh及g′h′即为所求GH的两投影。如图3-17（b）所示。