两组平行直线的三面投影

1.两直线互相平行，则它们的同名投影也必互相平行；且两直线的同名投影的长度之比，都与它们本身的长度之比相等，因而各同名投影之间的长度之比也相等，且指向相同。

如图3-12（a）所示，直线AB和CD互相平行，则过AB和CD所作的垂直于H面的两个投射平面ABba和CDdc也必互相平行，因而与H面交得的投影ab和cd也一定平行。同样，V面和W面投影a′b′∥c′d′，a″b″∥c″d″。两面投影图，如图3-12（b）所示。

图3-12　平行两直线AB，CD的投影

此外，设在过AB和CD的垂直于H面的投射平面内，过A和C作直线AB1∥ab，CD1∥cd，与Bb和Dd交于点B1和D1。则△ABB1∽△CDD1，因为AB∥CD，ab∥cd和BB1∥DD1，故ab∶cd=AB∶CD。同样地a′b′∶c′d′=AB∶CD，a″b″∶c″d″=AB∶CD。因而ab∶cd=a′b′∶c′d′=a″b″∶c″d″。

又如AB与CD的指向因朝同一方向而相同，则ab与cd，a′b′与c′d′和a″b″与c″d″的指向也各相同。

2.反之，若两直线的各组同名投影均互相平行，则两直线本身在空间也必平行；且两直线的长度之比，等于它们任一同名投影的长度之比，且指向也相同。

如图3-12（a），若ab∥cd，则过ab和cd的两个投射平面也互相平行；又若a′b′∥c′d′，则过a′b′和c′d′的两个投射平面也互相平行。于是两组互相平行的投射平面交得的直线AB∥CD。

3.两条一般位置直线的任意两组同名投影互相平行，以及两条投影面垂直线的两组成直线状的同名投影互相平行，即可肯定这两种直线的两条直线在空间一定平行。但两直线都是某一投影面的平行线，则需画出在该投影面上的同名投影才能确定；或者由各同名投影的指向和长度之比是否一致来确定。

两条一般位置直线的情况，已如图3-12的说明。两条同一个投影面的垂直线在另外两个投影面上各互相平行的投影直线，也可如图3-12中一般位置直线那样来证明。

而两条同一投影面的平行线，如图3-13所示的W面平行线，首先，这种直线在空间的位置不能仅由H面投影和V面投影明显地确定；所以不能随意确定这两条直线在空间是否平行。(www.xing528.com)

图3-13　两W面平行线的两相对位置

在图3-13（a）和（b）中，虽然ab∥cd和a′b′∥c′d′，当作出了这两条直线的W面投影a″b″和c″d″后，就可知道，在图3-13（a）中，因a″b″∥c″d″，故由W面投影以及和H面或V面投影之一，即可确定AB∥CD；但在图3-12（b）中，因a″b″与c″d″不平行，故AB和CD并不平行，所以需要由W面投影，以及H面或V面投影之一来表示这两条直线。

另外，在图3-13（a）中，ab∶cd=a′b′∶c′d′，且指向相同；在图3-13（b）中，即使ab∶cd=a′b′∶c′d′，但指向不同，也可确定AB和CD不平行。

[例3-7] 如图3-14，过已知点A作一直线AB，使AB平行于另一已知直线CD（c′d′及cd已知）且点B位于H面上，作出两直线的三面投影。

[解]

（1）根据两平行线的投影规律，如AB∥CD，则a′b′∥c′d′，ab∥cd，a″b″∥c″d″，由此可定出直线AB的方向。先作出a″和c″d″。

图3-14　过点A作直线AB∥CD

（2）因点B在H面上，故b′应位于OX轴上，由此可定出点B的投影。即过a′作直线平行c′d′并延长交OX于b′，再过a作直线平行cd，由b′向下作连系线交得b，后求得b″，得a″b″。