数列极限计算常与函数极限计算、方程实根个数计算、定积分大小比较、积分和式极限计算以及与数列极限定义有关的函数求导、积分运算等结合成综合题.
例02.5 设数列{xn}的递推式为x1∈(0,π),xn+1=sinxn(n=1,2,…),求数列极限
精解 先计算极限
由{xn}的定义可知0<xn+1=sinxn<xn (n=1,2,…),
所以{xn}单调减少且有下界,因此由数列极限存在准则存在,记为A,则A∈[0,
1).
对递推式两边令n→∞取极限得A=sinA.
显然,在[0,1)上,上述方程仅有解A=0.所以
由于,
所以考虑函数极限
其中
将它代入式(1)得,
因此
例02.6 设函数fn(x)=ex+x2n+1.
(1)证明:对任意正整数n,方程fn(x)=0都有唯一实根.
(2)记上述唯一的实根为xn(n=1,2,…),求极限的值A,并证明:xn-A~.
精解 (1)对n=1,2,…,,,所以由连续函数零点定
理(推广形式)知方程fn(x)=0有实根.此外,由
即fn(x)是单调增加函数,所以对n=1,2,…,方程fn(x)=0的实根都是唯一的.
(2)容易观察到fn(-1)=e-1-1<0,fn(1)=e+1>0,所以方程fn(x)=0的唯一实根xn∈(-1,1)(n=1,2,…).
由fn(xn)=0,即exn+x2nn+1=0得
上式两边令n→∞取极限得
于是,(www.xing528.com)
即
例02.7 求下列和式极限:
精解 (1)记,它不是某个函数的积分和式,现对它作
适当的缩小与放大得
且,所以由数列极限存在准则Ⅰ得,即
,它不是某个函数的积分和式,现对它作适当的缩小与放
大.
显然,,
此外,利用(证明见本题注)可得
所以,对n=1,2,…,有
且,
因此由数列极限存在准则Ⅰ得
注的证明如下.
令,则,
所以,,即
例02.8 设函数,求函数的表
达式.
精解 先算出f(x)的表达式,为此需按x与e的大小关系分0<x≤e与x>e两种情形考虑.
当0<x≤e时,,
当x>e时,f,
所以因此
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