2015考研数学（三）提高篇综合题解析

数列极限计算常与函数极限计算、方程实根个数计算、定积分大小比较、积分和式极限计算以及与数列极限定义有关的函数求导、积分运算等结合成综合题.

例02.5 设数列{x_n}的递推式为x₁∈（0，π），x_n+1=sinx_n（n=1，2，…），求数列极限

精解 先计算极限

由{x_n}的定义可知0<x_n+1=sinx_n<x_n （n=1，2，…），

所以{x_n}单调减少且有下界，因此由数列极限存在准则存在，记为A，则A∈[0，

1）.

对递推式两边令n→∞取极限得A=sinA.

显然，在[0，1）上，上述方程仅有解A=0.所以

由于，

所以考虑函数极限

其中

将它代入式（1）得，

因此

例02.6 设函数f_n（x）=e^x+x²ⁿ⁺¹.

（1）证明：对任意正整数n，方程f_n（x）=0都有唯一实根.

（2）记上述唯一的实根为x_n（n=1，2，…），求极限的值A，并证明：x_n-A～.

精解 （1）对n=1，2，…，，，所以由连续函数零点定

理（推广形式）知方程f_n（x）=0有实根.此外，由

即f_n（x）是单调增加函数，所以对n=1，2，…，方程f_n（x）=0的实根都是唯一的.

（2）容易观察到f_n（-1）=e^-1-1<0，f_n（1）=e+1>0，所以方程f_n（x）=0的唯一实根x_n∈（-1，1）（n=1，2，…）.

由f_n（x_n）=0，即e^xn+x²_nn+1=0得

上式两边令n→∞取极限得

于是，(https://www.xing528.com)

即

例02.7 求下列和式极限：

精解 （1）记，它不是某个函数的积分和式，现对它作

适当的缩小与放大得

且，所以由数列极限存在准则Ⅰ得，即

，它不是某个函数的积分和式，现对它作适当的缩小与放

大.

显然，，

此外，利用（证明见本题注）可得

所以，对n=1，2，…，有

且，

因此由数列极限存在准则Ⅰ得

注的证明如下.

令，则，

所以，，即

例02.8 设函数，求函数的表

达式.

精解 先算出f（x）的表达式，为此需按x与e的大小关系分0<x≤e与x>e两种情形考虑.

当0<x≤e时，，

当x>e时，f，

所以因此