三类方程定解问题提法比较

由于三类方程所反映的物理现象有很大差别，所以它们可能遇到的定解问题也有很大的差别。例如对椭圆型方程（以拉普拉斯方程为代表）而言，它反映了一些属于稳定、平衡状态物理量的分布状况，因此在其定解问题中，只有边界条件而没有初始条件，故一般不提柯西问题与初边值问题。对双曲型方程（以弦振动方程为代表）与抛物型方程（以热传导方程为代表），虽然都可以提柯西问题与初边值问题，但它们所需要的初始条件个数也不相同，对抛物型方程的柯西问题和初边值问题，其初始条件只需给一个，而对双曲型方程来说，却需要两个初始条件。

如果将弦振动方程、一个空间变量的热传导方程以及两个自变量的拉普拉斯方程分别写成下列形式：

及

在xOy平面的区域0≤x≤a，0≤y≤b上考虑这些方程的定解问题，前面研究过的一些定解问题中定解条件的提法可以用图4.1表示。

很自然地会想到这样的问题，是否可以对拉普拉斯方程提出柯西问题和初边值问题，对弦振动方程与热传导方程提出狄利克雷问题呢？我们希望从数学理论上对这个问题给以分析和回答。但要一般地说明对各种方程可以提出怎样的定解条件并不是一件容易的事情，它是一个专门研究的课题。下面仅举例说明有些定解问题不满足适定性的要求，从而这些定解问题的提法是不完善的。

图4.1　调和方程定解条件

根据第1章讲的适定性概念，它包含解的存在性、唯一性和稳定性三方面的内容。存在性是指所讨论的定解问题至少有一个解；唯一性是指这个问题的解最多只有一个；而稳定性是指出现在定解条件中的资料变化很小时，问题的解也变化很小。关于稳定性，下面再做一些具体的说明。

设出现在定解条件中的资料为φ（i）（i＝1，…，N），它可能为一个函数（例如热传导方程柯西问题中的初始条件），也可能为几个函数（例如弦振动方程柯西问题中的初始条件或在初边值问题的情形下再加上一些边界条件），我们将其看成某个函数空间Φ中的元素，问题的解u也可看成另一函数空间U中的元素。设函数空间Φ及U都可按某种方式规定一个距离，从而形成一个距离空间。那么，稳定性的要求就可以表示为：当Φ中元素φ1，φ2的距离ρ（φ1，φ2）充分小时，相应的解u1，u2在U中的距离ρ（u1，u2）也充分小。通常取作为函数空间的可以有连续函数空间C0，函数本身及其所有直至k阶偏导数均为连续的函数空间Ck，函数本身及其所有直至k阶偏导数为平方可积的函数空间Hk，等等。这些空间中函数φ1与φ2的距离分别为

对应于不同意义下的稳定性。例如，在第二章说明波动方程柯西问题的解的稳定性时，取Φ中距离为，而取U中距离为。又在讨论热传导方程柯西问题、初边值问题解的稳定性以及拉普拉斯方程狄利克雷问题解的稳定性时，Φ、U的距离均按连续模来度量。

下面举一个不稳定定解问题的例子。将y看成时间变量，考察拉普拉斯方程的初边值问题：

用分离变量法可得这个问题的解为

可以证明此定解问题的解是唯一的。但容易看出这样定解问题的解却并不是稳定的，因为把这定解问题的解和方程满足齐次的初始条件，与边界条件

的解u0（x，y）≡0相比较，虽然它们满足同样的边界条件，而当n→∞时，un所满足的初始条件本身以及它的直到k－1阶导数都一致地趋于u0所满足的齐次初始条件，但所对应的解

不仅不一致地趋于零，而且对于任意固定的一点（x，y），y＞0，它和u0≡0的差的振幅却趋于无穷；不仅如此，它们差的平方的积分

当n→∞时也是趋于无穷的。这就是著名的阿达马（Hadamard）的例子。它说明拉普拉斯方程的初边值问题尽管解可能存在并且唯一，但并不是稳定的。类似的例子可以说明拉普拉斯方程柯西问题的不稳定性。

再考察弦振动方程的狄利克雷问题。为此，将这个方程写成(www.xing528.com)

的形式，并在由ξ＝a，η＝b，ξ轴和η轴围成的矩形区域上求解狄利克雷问题（图4.2），所给的边界条件是

图4.2　弦振动方程狄利克雷问题边界

图4.3　热传导方程狄利克雷问题边界

为使边界条件连续，我们还需有

f1（0）＝f2（0），f1（a）＝f4（0），f3（0）＝f2（b），f3（a）＝f4（b）

等相容性条件。由于方程的通解为

u＝f（ξ）＋g（η）

由前面两条件已能完全决定解的表达式为

u＝f1（ξ）＋f2（η）－f1（0）

所以必须成立

f3（ξ）＝f1（ξ）＋f2（b）－f1（0）

f4（η）＝f1（a）＋f2（η）－f1（0）

否则所提的定解问题就不会有解。因而一般不能提出弦振动方程的狄利克雷问题。

同样，对热传导方程，由以前所证明的唯一性定理知道，在矩形区域OABC（图4.3）上，狄利克雷问题一般是没有解的。

从上述讨论可知，三种不同类型方程定解问题提法，确实有显著的差异，在本书前三章的讨论中，对这些方程提出不同定解问题进行研究是有理由的。这些问题的物理意义清楚、提法合理，从而也研究得最成熟。然而，随着科学、工程技术以及数学理论的日益发展，研究的数学物理方程及其定解问题的类型越来越多、范围越来越广，甚至对一些看来不甚合理的定解问题（例如不满足某些适定性要求的问题）也会在特定条件下需要进行研究。但是，了解三种不同类型方程的主要定解问题在提法上的基本差别仍然是十分重要的。