化二阶线性偏微分方程为标准型

将二阶线性偏微分方程化为标准型，与特征方程特征曲线的存在性有关。

（1）在点（x0，y0）∈Ω的某邻域内，，则方程（4.12）可分解为

和

此时特征方程具有两族不相同的实曲线，依次将它们表示为φ1（x，y）＝C1及φ2（x，y）＝C2。假设φ1x及φ1y，φ2x及φ2y均不同时为零，取

ξ＝φ1（x，y），η＝φ2（x，y）

则方程（4.8）中的，因此，方程（4.8）可化为

整理可得

式中，A，B，C，D为ξ，η的函数。方程（4.13）称为双曲型方程的第一标准型。

如果在方程（4.13）中再做自变量的变换

ξ＝s＋t，η＝s－t

则方程（4.13）进一步化为

方程（4.14）称为双曲型方程的第二标准型。

（2）在点（x0，y0）∈Ω的某一邻域中，，并且a11，a12，a22不全为零。此时式（4.12）分解为

故特征曲线只有一族，记为φ1（x，y）＝C。取ξ＝φ1（x，y），再任选一函数η＝φ2（x，y），使φ1，φ2函数无关，则

由于

则

因此方程（4.8）就化为

式中，。以除上式两端，则

方程（4.15）称为抛物型方程的标准型。

（3）在点（x0，y0）∈Ω的附近，。此时不存在实的特征线，只能在复数领域分解为两个一阶方程：

特征方程（4.12）的通解为

φ（x，y）＝φ1（x，y）＋iφ2（x，y）＝C

为了避免引入复函数，做变换

ξ＝φ1（x，y），η＝φ2（x，y）

可以证明，φ1（x，y）和φ2（x，y）是函数无关的：

因此方程（4.8）就化为

整理可得

方程（4.16）称为椭圆型方程的标准型。

例4.1　弦振动方程

utt－a2uxx＝0

特征方程为

dx2＋0dxdt－a2dt2＝0

Δ＝a2＞0，方程为双曲型，其特征线族为

x±at＝c

取

ξ＝x＋at，η＝x－at

代入原方程，可得(www.xing528.com)

即为双曲型方程的第一标准型。

例4.2　二阶方程

x2uxx＋2xyuxy＋y2uyy＝0

特征方程为

即

Δ＝（2xy）2－4x2y2＝0，方程为椭圆型，其特征线族为

x/y＝C

取

代入原方程，可得

uηη＝0

例4.3　特里科米方程

的特征方程为

ydy2＋dx2＝0

①y＞0时，Δ＝－y＜0，为椭圆型方程，即

故

取

代入原方程可得

②y＜0时，Δ＝－y＞0，为双曲型方程，即

故

取

代入原方程可得

例4.4　判断方程uxx＋2uxy－3uyy＝0的类型，并化成标准形式。

解　由题可知

a＝1，b＝1，c＝－3

b2－ac＝1＋3＝4＞0

方程为双曲型。特征方程为

（dy）2－2dxdy－3（dx）2＝0

dy＝3dx，dy＝－dx

因此有特征线

y－3x＝c1，y＋x＝c2

令

ξ＝y－3x，η＝y＋x

代入原方程，可得

ux＝uξξx＋uηηx＝－3uξ＋uη

所以方程的标准形式为

uξη＝0