两个自变量二阶线性偏微分方程的化简

如果一个方程（A）经过可逆的自变量变换后得到方程（B），那么方程（B）与方程（A）就可以看作同一方程的不同表达形式，方程（A）的解经过自变量的这个变换后，就得到方程（B）的解，而方程（B）的解经过这个自变量变换的逆变换，也就得到方程（A）的解。如果方程（B）的形式比方程（A）的形式简单，那么直接研究方程（B）就比较方便。又如果许多方程都能通过自变量变换化成方程（B），则对（B）的研究就更具有典型意义。

现在开始对方程（4.1）在区域Ω中某点（x0，y0）的附近进行简化。为此，作自变量的变换

如果上述变换是二次连续可微的，且雅可比行列式

在点（x0，y0）不等于零。那么在点（x0，y0）的邻域内，变换是可逆的，也就是存在逆变换

采用新的自变量ξ，η，

则方程（4.1）转化为

其中

如果能够通过选取变换（4.4），使方程（4.8）中的系数或等于零，即

则变换后的方程比原来简化了许多。由于和的形式完全相同，因此只须选择ξ和η满足的方程(www.xing528.com)

中两个函数无关的解φ1（x，y）及φ（x，y），取ξ＝φ1（x，y），η＝φ2（x，y），则a－11，a－22就变为零。

假设，不妨设φy≠0，则方程（4.10）转化为

沿着曲线φ（x，y）＝C有

0＝dφ＝φxdx＋φydy

于是

则方程（4.11）转化为

即

这说明，如果φ＝φ（x，y）是方程（4.11）的一个解，则φ（x，y）＝C是方程（4.12）的一族积分曲线。反之，如果φ（x，y）＝C是方程（4.12）的一族积分曲线，且，则φ＝φ（x，y）是方程（4.11）的一个解。称方程（4.12）的积分曲线为方程（4.1）的特征线，方程（4.12）有时亦称为特征方程。