稳定热传导下的极值原理

调和方程描述的是稳态平衡的物理现象。以稳定的热传导为例，根据极值原理，温度的最高点及最低点在物体的边界上。对在边界上的温度最低点（温度最高点类似），物体其他各点的热量必流向它，并且通过它流向物体外部，因此边界处该点有（n是外法线方向）。

定理3.1（强极值原理）　设在半径为R的某一球上（包括球面在内）给定一个连续函数u（x，y，z），它在此球内是调和的，并且对此球的所有内点（x，y，z），成立着u（x，y，z）＞u（x0，y0，z0），其中（x0，y0，z0）是球面上的某定点。如果函数u（x，y，z）在点（x0，y0，z0）沿方向ν的方向导数存在，而方向ν与球的内法线方向成锐角，则在点（x0，y0，z0）处成立

证明　由于调和函数在经过坐标轴的平移变换后仍然是调和函数，设球心为坐标原点。

由于u（x，y，z）在点（x0，y0，z0）取最小值，因此在点（x0，y0，z0）总有

取，则在（x0，y0，z0）点，函数ω应取其极小值0，且，并在该点附近成立。取ω作变量r的函数，且满足以下三个条件：

（1）在球面R2＝x2＋y2＋z2上ω＝0；

（2）在同心球壳所围成的闭区域D：内，ω具有二阶连续偏导数，且Δω＞0；

（3）ω沿球半径方向的导数存在，且r＞0时，从而在球面R2＝x2＋y2＋z2上。

如果这样的函数ω（x，y，z）存在，则当ε＞0足够小时，函数＝εω＋u（x0，y0，z0）就是我们所要找的函数。事实上，在（x0，y0，z0）点

显然满足，我们只要证明当ε＞0足够小时，在区域D上成立

m（x，y，z）＝u－εω－u（x0，y0，z0）≥w（x0，y0，z0）＝0(www.xing528.com)

由于在区域D中，Δm＝－Δ＝－εΔω＜0，因此函数ω在D内不能取到其最小值，但在区域D的边界上恒有m（x，y，z）≥0。这是由于在球面上，u（x，y，z）＞u（x0，y0，z0），只要取ε＞0足够小就可使在球面上m（x，y，z）＝u－εωu（x0，y0，z0）＞0；而在球面R2＝x2＋y2＋z2显然有m（x，y，z）≥0。这样，在整个区域D上都有m（x，y，z）＝u－εω－u（x0，y0，z0）≥m（x0，y0，z0）＝0，这就是所要证明的。

现在来证明上述函数ω（x，y，z）的确是存在的。

作函数，其中a是一个待定的正常数。我们要验证：当a适当大时，它就是满足上述要求的函数v。条件（1）和（3）显然满足，下面来验证条件（2）。v的二阶偏导数为

因此

由于在D上，总可以取适当大的a＞0，使在D内成立Δω＞0，即条件（2）满足。定理证毕。

由上述对于球的强极值原理，可以得到具有某种性质的一般区域的强极值原理。

定理3.2　设区域Ω具有下述性质：对Ω的边界Γ上任一点M，都可作一个属于区域Ω（连同其边界Γ）的球KM，使其在点M与Γ相切。如果不恒等于常数的调和函数u（x，y，z）在Ω∪Γ上连续，在边界点M0处取最小（最大）值，则只要它在点M0处关于Ω的外法向导数存在，其值必是负（正）的。

证明　取定一球KM0，并假设它的所有内点都属于Ω。由于调和函数u（x，y，z）不恒等于常数，根据极值原理，它不能在Ω的内点取到最小值，因此u（x，y，z）在KM0的所有内点上的值恒大于u在点M0的值。由定理3.1，只要导数存在，它在点M0处的值必是负的。

在Γ上使函数u（x，y，z）取到最大值的那些点处，函数－u取到最小值，因此在这些点处，即。定理证毕。