调和方程边值问题的数理方程应用

1）内问题

由于调和方程及解与时间无关，所以定解条件中只有边界条件，相应的定解问题称为边值问题。通常椭圆型方程有三类边值问题。

（1）第一边值问题（狄利克雷问题）。在空间（x，y，z）中某一区域Ω的边界Γ上给定了一个连续函数g，要求找出这样的一个函数u（x，y，z），它在闭域Ω∪Γ上连续，在Ω内具有二阶连续偏导数，同时满足调和方程，并在Γ上与已给的函数g重合：

根据调和函数的定义，第一边值问题也可表述为在区域Ω内找一个调和函数，它在边界Γ上的值为已知。

（2）第二边值问题（诺伊曼问题）。在某光滑的闭曲面Γ上给出连续函数g，要寻找这样一个函数u（x，y，z），它在Γ的内部区域Ω中是调和函数，在Ω∪Γ上连续，且在Γ上的任一点沿Γ的外法线方向n的方向导数存在，并且等于已给函数g在该点的值：

（3）第三边值问题（罗宾问题）。在某光滑的闭曲面Γ上给出连续函数g，要寻找这样一个函数u（x，y，z），它在Γ的内部区域Ω中是调和函数，在Ω∪Γ上连续，且au在Γ上任一点的值等于已给函数g在该点的值：

式中，为Γ上任一点沿Γ的外法线方向n的方向导数；a为Γ上有定义的已知函数，a≥0，但不恒等于0。

上述边值问题都是在边界Γ上给定某些边值条件，在区域内求调和方程的解，这样的问题称为内问题。(www.xing528.com)

2）外问题

在实际应用中，还会要求求解某个有界区域Ω外的调和函数，例如物体外部的温度场、流体力学中的绕流问题等，这样的问题称为调和方程的外问题。为了保证外问题解的唯一性，往往在无穷远处加上一定的限制条件。在三维的情形，通常要求解在无穷远处的极限为零，即

（1）狄利克雷外问题。在空间（x，y，z）的某一闭曲面Γ上给定连续函数g，要找出这样一个函数u（x，y，z），它在Γ外部区域Ω′内调和（无穷远处除外），在Ω∪Γ上连续，当点（x，y，z）趋于无穷远时，u一致地趋于零（即满足条件（3.8）），并且它在Γ上取所给的函数值：

（2）诺伊曼外问题。在光滑的闭曲面Γ上给出连续函数g，要求找出这样一个函数u（x，y，z），它在闭曲面Γ的外部区域Ω′内调和，在Ω∪Γ上连续，在无穷远处满足条件（3.8），且在Γ上任一点沿区域Ω′的单位外法线方向n′（指向曲面Γ的内部）的法向导数存在，并且满足

对于二维调和方程的狄利克雷外问题与诺依曼外问题，条件（3.8）应改为解u（x，y）在无穷远处有界。

对于泊松方程的边值问题，只要找出泊松方程的一个特解，由叠加原理，就能化为调和方程的对应的边值问题。