数理方程典型应用：非齐次弦振动问题

对于强迫振动情形的定解问题

由于微分方程及定解条件都是线性的，根据叠加原理，即如果函数u1（x，t）和u2（x，t）分别是下述初值问题

的解，那么u（x，t）＝u1（x，t）＋u2（x，t）就一定是原初值问题的解。其物理意义表示由f（x，t）所代表的外力因素和由φ（x）、φ（x）所表示的初始振动状态对整个振动过程所产生的综合影响，可以分解为单独只考虑外力因素（初始位移及速度为零）和只考虑初始振动状态（外力为零）对振动过程所产生的影响的叠加。因此可分别求解仅由初始条件引起的齐次方程带非齐次初始条件的初值问题（Ⅰ），和仅由强迫力引起的非齐次方程带齐次初始条件的初值问题（Ⅱ），然后将两个解叠加即可。前面讨论了问题（Ⅰ）的求解过程，下面我们讨论问题（Ⅱ）的求解过程。为了求解此问题，我们可以利用齐次化原理，把非齐次方程的求解问题化为相应的齐次方程的情况来处理，从而可以直接利用前面有关齐次方程的结果。

由弦振动方程的推导过程可知，自由项f（x，t）表示t时刻在点x处单位质量所受的外力，而表示速度。力f（x，t）是持续作用的，把时段［0，t］分成若干小的时段Δtj＝tj＋1－tj（j＝1，2，…，l），在每个小的时段Δtj中，f（x，t）可以看作与t无关，从而以f（x，tj）来表示。由于，而F（x，tj）表示外力，根据动量定理可知，在时段Δtj中自由项所产生冲量等于动量的改变量，即

记表示以t＝tj时刻开始的振动位置，则初始速度可以表示为

从t＝tj时刻开始，在Δtj时段内，弦的振动情况可以由下面的定解问题来描述：

按照叠加原理，f（x，t）所产生的总效果可以看作无数个这种瞬时作用的叠加。则问题（Ⅱ）的解u（x，t）可以表示为

由于问题（2.33）为线性方程，所以与Δtj成正比，即如果记W（x，t；τ）为如下齐次方程的定解问题

的解，则

于是定解问题（Ⅱ）的解可表示为

为写出W（x，t；τ）的具体表达式，在初值问题（2.65）中做变换t′＝t－τ，相应地，定解问题（2.65）化为

根据达朗贝尔公式，解为(www.xing528.com)

再代入式（2.67），就得到所考察的初值问题（Ⅱ）的解为

图2.7　非齐次弦振动方程的柯西问题决定区域

其中区域G为（ξ，τ）平面上过点（x，t）向下作两特征线与ξ轴所夹的三角形区域，如图2.7所示。

下面验证式（2.70）确实是定解问题（Ⅱ）的解。假设f∈C1，则：

于是有

即u（x，t）满足定解问题（Ⅱ）的方程。

（2）u｜t＝0＝0。

（3）ut｜t＝0＝0。

所以，式（2.70）所表示的u（x，t）确是定解问题（Ⅱ）的解。再利用叠加原理，即容易得到初值问题（2.58）的解。

例2.5　求解非齐次方程的柯西问题

解　直接利用式（2.70），可得