数理方程应用案例中的依赖、决定和影响视域

1）依赖区间

从达朗贝尔公式（2.47）可以看出，定解问题（2.33）的解u（x，t）由初始条件φ（x）和φ（x）在x轴的区间［x－at，x＋at］上的值所唯一确定，而与φ（x）和φ（x）在该区间外的值无关。这个区间称为点（x，t）的依赖区间。它是过（x，t）分别作斜率为的直线与x轴所交而截得的区间，如图2.4所示。

图2.4　依赖区间

2）决定区域

对初始轴t＝0上的一个区间［x1，x2］，过点（x1，0）作斜率为的直线x＝x1＋at，过点（x2，0）作斜率为的直线x＝x2－at，它们和区间［x1，x2］一起构成一个三角形区域（图2.5）。此区域中任一点（x，t）的依赖区间都落在区间［x1，x2］之内部，因此，解u（x，t）在此三角形区域中的数值就完全由区间［x1，x2］上的初始条件决定，而与此区间外的初始条件无关。这个区域就称为区间［x1，x2］的决定区域。即在区间［x1，x2］上给定初始条件，就可以在其决定区域中得到初值问题的解。

图2.5　决定区域(www.xing528.com)

图2.6　影响区域

3）影响区域

分别过点（x1，0）、（x2，0）作直线x＝x1＋at、x＝x2－at，经过时间t后，受到区间［x1，x2］上初值条件φ（x）和φ（x）扰动影响的范围是

此区域内定解问题的解u（x，t）的数值受区间［x1，x2］上初始条件的影响，而在此区域外则不受区间［x1，x2］上初始条件的影响，称这个区域（图2.6）为区间［x1，x2］的影响区域。

在（x，t）平面上斜率为的直线x＝x0±at对波动方程的研究起着重要的作用，它们称为波动方程的特征线。可以看到，扰动实际上沿特征线传播。扰动以有限速度传播，是弦振动方程的一个重要特点。