数理方程中的达朗贝尔公式应用案例

为了考察波动方程的定解问题，先从最简单的情形入手，研究无界弦的自由振动情形，这时定解问题为

这个定解实际上是柯西问题。

引入新自变量

利用复合函数求导数的法则，得到

代入弦振动方程，可得

由于a2＞0，得到

其通解为

式中，F和G为任意两个可微分的单变量函数。

再代回到原来的自变量，则弦振动方程的通解表示为

根据初始条件，可得

再将式（2.44）两边积分，得

式中，x0为任意一点。

由式（2.43）和式（2.45），就可以解出F（x）和G（x）：

代入弦振动方程的通解（2.42），就得到初值问题的解

这个公式称为达朗贝尔公式。

可以看出，如果初值问题（2.33）有解，则解一定可以由初始条件用达朗贝尔公式（2.47）表示出来，因此解一定是唯一的。同时，若以记号Ck表示在定义域中具有直至k阶连续导数的函数的集合，则不难验证，当φ（x）∈C2，φ（x）∈C1时，式（2.47）的确给出初值问题（2.33）的解。这样就得到如下定理：

定理2.1　设φ（x）∈C2（R），φ（x）∈C1（R），那么初值问题（2.33）存在唯一的解u（x，t），它由达朗贝尔公式（2.47）给出。

解u（x，t）关于初始条件的连续依赖性也可以从式（2.47）中看出。(www.xing528.com)

例2.3　利用行波法，求解波动方程的古尔萨（Coursat）问题

解　根据达朗贝尔公式

u（x，t）＝F（x－at）＋G（x＋at）

令x－at＝0，得

令x＋at＝0，得

φ（x）＝F（2x）＋G（0）

所以

且

F（0）＋G（0）＝φ（0）＝φ（0）

所以

即为古尔萨问题的解。

例2.4　求解初边值问题

解　根据达朗贝尔公式

u（x，t）＝F（x－t）＋G（x＋t）

当x－t＞0时，

当t＝x时，

当t＝kx时，