柯西问题解的唯一性与稳定性分析

无界直线上的热传导问题一般要求温度分布有界，因此对于热传导方程的柯西问题

中的未知函数u（x，t），存在着某一正常数B，使对任何t≥0，－∞＜x＜∞，都有｜u（x，t）｜≤B。以下就在具有这种性质的函数类中讨论柯西问题解的唯一性和稳定性。

定理1.5　热传导方程的柯西问题在有界函数类中的解是唯一的，而且连续依赖于所给的初始条件。

证明　先证明有界解的唯一性。对于上半平面的任何一点（x0，t0），t0＞0，我们考虑下面的矩形区域

R0：0≤t≤t0，｜x－x0｜≤L

其中L是一个任意给定的正数。作函数

它在区域R0上是连续的，在R0内部满足齐次热传导方程，而且

因此在R0的下底及侧边上成立着不等式

v（x，t）≥u（x，t）

于是由定理1.1可知，在区域R0上也成立着(www.xing528.com)

v（x，t）≥u（x，t）

即

同理在区域R0上成立着

特别取点（x0，t0），就得到

但由于L是任意的，令L→∞，就得

u（x0，t0）＝0

又因为（x0，t0）是上半平面的任一点，故在整个区域中u（x，t）≡0，这就证明了解的唯一性。

下面，证明柯西问题的有界解对初始条件的连续依赖性。为此，只须证明当∣φ（x）∣≤η时，在整个区域t≥0，－∞＜x＜∞上∣u（x，t）∣≤η。这和证明解的唯一性相同，而只要取函数

来代替原来的辅助函数就可以了。因此，对有界解来说，柯西问题的稳定性也成立。