数理方程典型应用案例-极值原理的重要性

极值原理可用来描述扩散、传导等现象的热传导方程的重要特性。对于Ω内的热传导问题，如果物体内部没有热源，物体的边界温度及其初始温度都不超过某值M，则这物体内就不可能产生大于M的温度。

定理1.1（极值原理）　设u（x，t）在矩形RT｛α≤x≤β，0≤t≤T｝上连续，并且在矩形内部满足热传导方程，则它在矩形的两个侧边（x＝α及x＝β，0≤t≤T）及底边（t＝0，α≤x≤β）上取到其最大值和最小值。换言之，如果以ΓT表示RT的两侧边及底边所组成的边界曲线（通称抛物边界），那么成立着

证明　因为将－u代替u，最小值的情形就变为最大值的情形，所以只须考虑最大值的情形。

以下用反证法证明所需的结论。以M表示函数u（x，t）在RT上的最大值，以m表示函数u（x，t）在边界ΓT上的最大值。如果定理不真，那么M＞m。此时在R内一定存在着一点（x*，t*）（t*＞0，α＜x*＜β），使函数u（x，t）在该点取值M。作函数

其中l＝β－α。由于在ΓT上

而

V（x*，t*）＝M(www.xing528.com)

因此，函数V（x，t）和u（x，t）一样，它不在ΓT上取到最大值。设V（x，t）在RT中的某一点（x1，t1）上取到最大值（t1＞0，α＜x1＜β），则在此点应有

因此在点（x1，t1）处，

但直接计算并利用热传导方程可得

这就出现矛盾。它说明原先的假设是不正确的。证毕。

注　若u是非齐次热传导方程（其中f≤0）的解，则仍成立。