有内热源热传导问题导出

问题描述：空间静置的某物体G，与周围介质之间有热交换，同时内部含有热源（例如化学反应时放出反应热、电阻通电发热等，这时内热源为正值；化学反应时吸收热量、熔化过程中吸收物理潜热等，这时内热源为负值），单位时间内单位体积中所产生的热量为F（x，y，z，t），假定该物体是各向同性连续介质，求物体内的温度u（x，y，z，t）分布。

物理规律：

（1）能量守恒定律。

（2）傅里叶导热定律。

根据能量守恒，式（1.4）变为

整理可得

其中

方程（1.10）称为非齐次热传导方程。

例1.1　一均匀细杆直径为l，假设它在同一截面上的温度是相同的，杆的表面和周围介质发生热交换且服从规律dQ＝k1（u－u1）dSdt，假设杆的密度为ρ，比热为c，热传导系数为k，试导出此时温度u满足的方程。

解　以杆的对称轴为x轴，温度分布为u（x，t），在杆上任取一段（x，x＋Δx），则：

由一端导入的热量为

由另一段导出的热量为

时间段（t，t＋Δt）内由于热传导产生的净热量为

时间段（t，t＋Δt）内与周围介质传递的热量为

时间段（t，t＋Δt）内细杆升温所需的热量为(www.xing528.com)

根据能量守恒

Q3＝Q1－Q2

则

可得

令，则

例1.2　混凝土内部储藏着的热量称为水化热，水化热在混凝土浇筑后逐渐放出，放热速度和混凝土所储藏的水化热成正比。以Q（t）表示混凝土在单位体积中所储的热量，Q0为初始时刻所储的热量，则，其中β为正常数。又假设混凝土的比热为c，密度为ρ，热传导系数为k，求混凝土在浇筑后温度u满足的方程。

解　浇筑后在混凝土内任取一封闭曲面τ，所包围的区域为Ω，则由t1时刻到t2时刻，区域Ω内由于热传导产生的热量变化为

由于

则水化热释放的热量为

区域Ω中升温所需的热量为

根据能量守恒

Q3＝Q1－Q2

可得

令，则