7.1 模型的预处理（节点处理能力扩大）
根据题意，地下物流系统构建重点关注两个条件：① 满足该市近30年内的交通需求（可以认为需求量每年呈5%增长）；② 建设进度分八年完成，且每年可建设道路长度大致相等。考虑到缓解交通，其建设过程应由各个节点的实际货运量决定，优先建设货运量大的节点。
首先对交通量进行处理，因交通量与货运量近似呈正比，可以认为，30年后的货运量是目前货运量的1.0530倍，即4.32倍。考虑到实际情况中，地上交通能力也在逐年上涨，因此，可近似认为“30年后地下货运量的需求是目前的4.32倍”。
在上述问题研究中，地下节点实际货运量之和为79 971.34吨，30年后，这数值将变为345 476.19吨，以目前的节点数量来说，远小于与地面收发货量之和最大限度112 000吨。因货运量过大导致现有技术无法承担，不妨可以考虑，在一定程度上逐渐扩大节点的处理能力和通道处理能力：① 在未来30年货运量激增后，多数双轨车道均需改为四轨运行，车辆型号也从5吨转10吨，其通道量相当于原先的4倍。② 考虑到10吨型号的双向双轨通道能力为14 400吨，可以认为一级节点应能够处理这样的货运量。③ 对目前区域中心点OD矩阵每个元素扩大4.32倍，那么有较大的地下货运量需求的点有880区域10 375.65吨、886区域10 215.59吨等。一级节点至少应满足任意一个点的需求能力。
通道考虑为增加一个轨的处理能力，则最大吨位型通道的限度由14 400吨升至21 600吨。
【结论】综合上述讨论，可以将节点的处理能力扩大3倍，那么一级节点与地面收发货量限度为12 000吨，二级节点与地面收发货量为9 000吨。通道扩大后可以处理的吨位限度为21 600吨。若无特殊说明，模型后续运算在此基础上展开。
7.2 K-means聚类的节点确定
根据第一问的方法，在节点能力扩大处理后，重新进行节点的选择。其中839、880、886因收发货量过大，必须直接由一个一级节点服务。其中，三个物流园区收发货量因超过通道处理上限，需要分配2个一级节点服务，那么，如题，至少需要7个一级节点与物流园区连接。一次聚类结果如图18所示。
现从聚类结果中选取服务量较大的点，共6个（类别序号5、16、18、23、26、35），与839、880和886构成9个一级节点备选点，从中选取7个，不妨仍以距离方法判定。最终确定的一级节点如表19所示。
根据二次聚类结果，判定二级节点共45个，其聚类结果（所覆盖的区域中心）见表20，在此基础上，根据距离判定一级节点覆盖的二级节点，结果见表21。
图18 一次聚类结果图
表19 聚类后确定的一级节点信息
表20 二级节点覆盖区域（服务区域）
需要说明的是，第一个一级节点承载量过大，为了减缓，其相应的二级节点可以考虑相互连通。
表21 一级节点对应的二级节点
7.3 基于背包法的物流网络建设时序模型
问题的实质是每年在一个固定建设里程数上，实现货运最大化，从而缓解交通，这显然是一个“背包问题”。
7.3.1 模型建立
首先，建设总长度应该等于园区与一级节点连通的道路，一级节点互相连通的道路，一级节点与相应二级节点连通的道路，以及被同一一级节点服务的二级节点连通道路的长度之和，即
那么，年建设长度应该为l=[L8]。
在建设方面，二级节点间的互联是为增加抗风险能力，重要度较差，可以后续建设。
其次，对A1～A7和B1～B45的实际货运量排序w（1）～w（52），每建设一个一级节点，对应的建设长度为该一级节点与其他一级节点连通的距离之和；每建设一个二级节点，其建设长度为与被服务的一级节点连通的距离，即
再次，对B1～B32同区域间的货运量排序，进行二次背包化处理，并连接对应的二级节点通道，流程图同上相似，不再赘述。
图19 基于背包法的物流网络建设时序流程图
7.3.2 模型求解
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表22 各节点按货运量排序
通过MATLAB代码计算求解，可知第一年涉及通道建造为各一级节点与物流园区相连；第二年到第四年主要为一级节点间的连通，第五年到第八年为一二级点连通，连通情况见表23，建设时序图如图19所示。
表23 连通情况图
图20是8年建设施工时序图，最后一幅图只列出最后一年和前四年，比较清晰。
图20 建设时序图
7.4 与问题3的比较
7.4.1 满载年限计算
随着需求量逐年增长，问题3的网络通道受容量限制难以满足。若仍然使用，应进行扩容处理。
从通道处理能力看，对于双向双轨的地下通道，通道处理能力限度为3 600吨。在问题3中，一级节点对二级节点的通道运输量均值为2 355吨。以每年1.05倍增速，则第9年的通道运输量将达到饱和。此时，需要将双向双轨改为双向四轨。进一步的，在第23年，双向四轨的运输量也达到饱和，此时需要将5吨位的通道改为10吨位车道。
综上所述，在通道扩容方面应该在第9年直接增建10吨位通道，以避免改线造成的成本浪费。
从节点容量看，在32个二级节点和4个一级节点的条件下，实际能够满足的货运量，最大为32×3 000+4×4 000=112 000吨，而实际货运总量为78 783吨，以每年1.05倍增速，则第8年将达到饱和，需要扩建。
综上所述，在第8年，一级节点各班次和每班车的车厢节数达到满载。
7.4.2 扩容处理方案
1. 节点处理
结合上述网络结构可知，满足30年交通量的一级节点数为7个左右，二级节点数目为40个左右。
① 将达到饱和量的二级节点升级为一级节点，并与最近的物流园区相连接。
② 对于单个区域中心点货流量超过二级节点货运量的升级为一级节点，并与最近的物流园区相连接。
③ 对于单个区域中心点货流量较大的且不超过二级节点容量限制的，可同点位建立二级节点，并与最近的一级节点相连接。
2. 通道处理
① 计算30年后货运量，对容量变化较小的通道，从双向双轨（5吨）扩建为双向四轨（5吨）。将达到饱和量的二级节点升级为一级节点，并与最近的物流园区相连接。
② 对容量变化大的，增设的双向四轨轨道为10吨。
③ 对于容量变化极大的，需要在前两者基础上，另修建与同一一级节点服务区域的其他二级节点的连通通道。
7.4.3 网络系统对比
对于问题4中的网络系统建设来说，因考虑后期使用，前期投入成本较大，但年利用率较低。从节点实际货运能力看，前者为78 783/112 000=70.3%，后者为78 783×4.32/(45×9 000+7×12 000)=69.6%，变化差异不大，但后者在量级上远超前者，易造成过多的成本投入。
反观问题3的网络结构，其前期投资成本较低，利用率高，但后期改建扩容的费用较高，特别是在通道扩增情况下仍不能满足，则需要增建额外连接通道，对后期改建成本有影响。
问题3与问题4的优缺点比较见表24。
表24 优缺点比较
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