实用数学方法-解决5个问题2的模型

5.1 模型分析及假设

第二问以系统差异部分总费用最低为目标，从而建立一二级节点选址优化模型。最后对方案进行评估，确定最佳的一二级节点连接布局方案，以总成本最低时各级节点的连接方式进行货物配送。

问题可转述为：通过调节问题一中节点位置和连接方式，使得系统成本费用最低。成本可分为两部分：建设成本（C1）和运营成本（C2）。其中，建设成本又包括一二级节点的建设成本（C11）和各节点间地下隧道的建设成本（C12）；运营成本为每天货物运输的成本，对于某条线路，运营成本C2=单价×距离×货物流量。

令总成本F = C1 + C2，计算100年的总费用。

不妨作如下假设：

（1）假设整个城市（包括4个园区）的系统是封闭平衡的。

（2）假设同一个一级节点下的二级节点均通过本一级节点进行货物的转运，即二级节点间不互联。

（3）假设节点间和节点与区域中心点的距离默认按欧氏距离计算。

5.2 基于成本规划（模拟退火算法求解）的物流网络模型

5.2.1 模型建立

定义决策变量如下：

模型以每个聚类为基本单元，寻求整个系统100年的最低成本。目标函数为系统的成本最小（F为地下物流系统建设100年的总成本，单位：亿元），即

在目标函数F中，第一、二项分别为一二级节点的建设费用；第三项为100年中货物总运费的成本，其中包括三部分：一二级节点间的运费、园区与一级节点间的运费和一级节点之间的运费；第四项为园区与一级节点间地下隧道的建设费用；第五项为一级节点与二级节点之间地下隧道的建设费用；第六项为一级节点间地下隧道建设费用。

约束条件如下：

条件（1）表示所有二级节点当天进出货量为0，即地下节点货物每天清仓；条件（2）表示所有一级节点当天的进出货量为0；条件（3）表示一个二级节点仅有一个一级节点与之相连；条件（4）表示区域中心点i仅有一个一级节点或一个二级节点与之连接；条件（5）表示至少有一个一级节点；条件（6）表示至少有一个二级节点。

本题在第一问确定节点的基础上来求解，此时二维坐标系中仅有点，并未连线，以决策变量Ymn和Ynu来连接二级节点与一级节点和园区与一级节点，通过满足约束条件下所有Ymn和Ynu的组合，来求出目标函数F最小情况下的一二级节点的连接情况。

此外，在计算地下隧道的建设成本时，需要根据每条边的货运量q来判断是建设双向双轨还是双向四轨，成本的决策引入判别量Cqun与Cqmn。

5.2.2 模型求解

对于一二级节点的连接问题是一个典型的NP难题，一般可采用启发式算法求解，本文采用模拟退火的方法，在一个大的搜寻空间内寻找问题的最优解。

模拟退火算法近似模拟材料传热过程，统计力学表明材料中粒子的不同结构对应于粒子的不同能量水平。在高温条件下，粒子的能量较高，可以自由运动和重新排列。在低温条件下，粒子能量较低。如果从高温开始，非常缓慢地降温（这个过程被称为退火），粒子就可以在每个温度下达到热平衡。当系统完全被冷却时，最终形成处于低能状态的晶体。

求解算法的基本步骤如下：

（1）令T=T0，即开始退火的初始温度，原始的连接矩阵设为初始解x0，并计算成本目标函数值E( x0)，本例中T0 = 200。

（2）令T等于冷却进度表中的下一个值Ti，本例中Ti = 0.98×T。

（3）对当前解xi进行扰动，本例中通过每次随机交换两个二级节点或改变一个二级节点所连接的一级节点，来产生一个新解xj，计算相应的目标函数值E (xj)，得到ΔE =E (xj)- E (x)，

（4）若ΔE＜0，则新解xj被接受，作为当前新解，若ΔE＞0，则新解xj按概率接受，Ti为当前温度。(www.xing528.com)

（5）在温度Ti下，重复Lk次的扰动和接受过程，即执行步骤（3）与（4），本例中Lk = 1 000。

（6）判断T是否已经到达Tf，若是，终止算法；若否，则转到步骤（2）继续执行，本例中Tf = 3。

5.2.3 求解结果

利用MATLAB对模拟退火算法进行编程，不断改变二级节点与一级节点的连接方式，试图得到较优的连接方案。最终收敛的连通矩阵Ynm为

矩阵中的行代表二级节点，列代表一级节点，Ynm代表节点是否连通。将优化前和优化后的结果表示在图8中。

图8　二级节点的连接变化

从对比图中可知，部分二级节点的连接有所改变，连接到距离更远的一级节点中，这是因为在目标函数E (xj)引入流量q后，流量较大的两点间将优先连接，从图7（b）中可以看出，改变的几处连线都是深红色，代表该处流量较大，因此距离较远的两点发生连接。

节点优化的情况如表11所示。

表11　二级节点的连接变化情况

5.3 模型结果

模型结果见表12～表17。

表12　二级节点对应区域中心点

续表

表13　二级节点与一级节点的对应关系

表14　一级节点位置

表15　物流园区实际收货量

表16　二级节点实际货运量

表17　一级节点间通道流量

有关通道位置，可参见图7。