实用数学方法：解决问题模型建立

4.1 模型预处理

4.1.1 交通拥堵系数与地下货运量处理

【方法一】均化处理

由题意，城市交通拥堵系数与OD数据反映出来的区域总货运量近似呈正比。同时，为了满足地下物流网络的两个直接目标之一，缓解交通拥堵直至交通畅通，至少基本畅通，即要求交通拥堵指数≤4。

根据模型假设，“任意两点之间的货运关系独立，不受第三方影响”，则当调整部分地上货运量至地下后，相应地，应满足缓解这两点所表示区域的交通指数。设A对B点发送货物w吨，其中A、B区域交通拥堵指数为pa、pb。现将Δw吨货物改由地下运输，相应地，应满足两点交通缓解需求（降低A、B点的交通指数），则有

对该式变换，有

根据上述原理，对所有点的货运量与交通拥堵系数进行处理，编写程序M1.m遍历各点进行上式计算，可得到所有点的地下货运量和调整后的拥堵指数。其中，物流园区部分交通拥堵系数可视为0。得到的地下货运量和调节后的交通拥堵系数见表1。

表1　调整后的交通指数和地下货运量

【方法二】背包化法处理

考虑到降低转运率的要求，对于地下货运量的OD矩阵图，应首先满足发车次数最少。不妨应用背包问题解决，将背包的容量设为w[i]，则每个物品的量为原始OD表中f(i, j)的值，在本天的工作计划中，每次选择最大容量的物品放入，可以使得背包中货物的个数最少。虽然这会造成一定程度容量的浪费，但考虑到地下物流的建设成本和发车次数，在选择节点时，发货量按照最少转运次数确定。

地下物流全天OD可由下述步骤确定：

Step1：计算能够满足拥堵指数降至4以下的每个区域中心点需要地下运输的货物量w[i]。

Step2：每个区域地下运输的货物都将直接进入最近的二级节点，然后通过地下运输。对于每个区域地下的货物量w[i]，按照如下优先级规划：

Step3：距离该区域最近的物流园区：对于距离区域最近的物流园区，当该中心点与该物流园区的收发货量s[i, u]＜w[i]时，可默认为该中心点i与该物流园区u之间货物的收发都使用地下运输，执行step4。若s[i, u]＞w[i]，则将w[i]尽可能平均分配给中心i与园区u之间的收发货量，执行step6。

Step4：其余3个物流园区：对每个园区的收发货物规则，同step3。

Step5：除物流园区外，其余区域中货运量最大的区域：当4个物流园区的收发货总量还不能有效缓解i点的交通时，i点与其他区域j点之间的货运需要转为地下。在不考虑路程的情况下，以最少人工工作量作为目标准则（发车次数少且转运次数少），每次选取与i点收发货量最大的区域，建立两个区域间的地下货运往来。增加与i点地下货运往来的j区域的个数，重复step5，直到i点区域的交通缓解。

Step6：求解出地下的运输OD矩阵图。

【说明】因时间有限，无法将两种方法处理后的数据全部进行后续运算，只在部分环节，如一级节点转运率计算等进行比较。如无特殊说明，后文采用的数据为第一种方法处理的结果。

4.1.2 地下节点间通道容量计算

分析车辆参数，选择核心条件：① 一班车一般由4～8节车辆构成；② 两种型号的车辆设计载重分别为10吨、5吨；③ 每个节点每12分钟可发车一班（含装卸货物、启动和等待时间），每小时最多发车5班，每天可以运营18小时（每天剩余为检修时间）；④ 尽量采用双向双轨（双洞）的隧道形式，在货运量特别大的线路可设置双向四轨（双洞）。

双向双轨是指收、发货物各一条轨道，四轨是指收、发货物各两条轨道，那么可以进行如下计算：

（1）每个节点日最高发车量：5×18=90辆。

（2）每班车的载重范围：4×10 t≤10 t型号班车≤8×10 t，即40～80 t；4×5 t≤5 t型号班车≤8×5 t，即20～40 t。

（3）每个节点日发货量：根据计算结果，绘制表2。

表2　每个节点日发货量上限

4.1.3 节点数量预估计

1. 根据覆盖面积估算节点数量

题目中指出“所有节点的服务半径在3公里范围内自由选择”，且“考虑到部分区域货运量与面积之比过小，若节点覆盖了某区域中心点即可视为对该区域进行了覆盖对于直接服务各区域中心”。由此，对于直接服务各个中心点的二级节点或一级节点来说，其每个节点对地上的直接覆盖面积为9π km2。

2. 根据地下货运量估算节点数量

可以认为，地下只是货物运输的场所，并不是货物储存的场所，也就是说，进入节点的货物最终全部应转运至地面以上。而各节点直接与地面收发货物总量应该满足“从地面收发货物总量上限为4 000吨，一级节点之间连通。二级节点从地面收发货物总量上限为3 000吨，且与非本区域一级节点仅通过本区域一级节点连通”。

据此，根据前一节的地下货运量可计算出地下总货运量∑w=78 783.72吨，那么，有关系式∑w≤3000 n+4000m（其中n为二级节点个数，m为一级节点个数）。

假设全部为二级节点，则节点个数应为总量与二级节点收发货量的比值，并向上取整：

事实上，若考虑有m个一级节点，且根据题意物流园区与其相连，则可以认为m≥4，那么，二级节点个数可以认为是

综上讨论，在一级节点充分用满4 000吨这一条件，即占容率100%的情况下，二级节点数量至少为21。实际情况中，因为一二级节点对地面的实际货运量不可能全部为4 000吨和3 000吨（应小于该数值），所以，考虑到占容率可能在50%～70%之间，节点个数范围应该在30～42之间。

4.2 基于二次K-means聚类（嵌套判定条件）的节点选址模型

4.2.1 模型建立

考虑到节点与地面收发货量的限制和对地面服务半径限制，不妨采用K-means聚类，而后通过上述限制条件对节点进行选取。

图3所示的是节点选址流程图。其步骤如下：

Step1：对各区域中心点进行K-means聚类，设聚类数为k个，类数起始设为25（根据4.1.2节中的预估计，其中一级节点4个、二级节点至少21个）。

Step2：对聚类结果进行距离判定，各区域中心点到类重心点的距离必须小于3 km。若符合，进入下一步骤；若不符合，则返回Step1，并增加聚类数为k+1个，如此循环，直至满足条件。

Step3：对聚类结果进行容量判定，各区域中心点与类重心点间总收发货量应小4 000吨。若符合，进入下一步骤；若不符合，则返回Step1，并增加聚类数为k+1个，如此循环，直至满足条件。

图3　K-means聚类节点选址工作流程图

Step4：对求得满足上述条件且节点数量最少的解进行“节点与地面货运量计算”，对于货运量3 000吨≤w≤4 000吨可以视为一级节点的备选点。从中分别选取距4个物流园区最近的4个点作为一级节点。

Step5：剔除4个一级节点服务的区域中心点，对剩余区域中心点再次聚类，采用K-means聚类，类数起始设为21（根据4.1.2节中的预估计，二级节点至少21个）。

Step6：对二次聚类结果进行距离判定，各区域中心点到类重心点的距离必须小于3 km。若符合，进入下一步骤；若不符合，则返回Step5，并增加聚类数为k+1个，如此循环，直至满足条件。

Step7：对二次聚类结果进行容量判定，各区域中心点与类重心点间总收发货量应小3 000吨。若符合，显示聚类结果；若不符合，则返回Step5，并增加聚类数为k+1个，如此循环，直至满足条件。

4.2.2 模型求解

1. 选择一级节点

根据一次K-means聚类结果可以得到一级节点的备选点共6个，如图4所示。其中，“红色点”代表一级节点的备选点，“蓝色点”代表类中心点，“绿色点”代表4个物流园区，“灰色点”代表个区域中心点，覆盖圆的直径等于每一类中距离最远的两个点（满足小于3 km的要求）。

图4　一次K-means聚类结果图

对6个备选点，其坐标分别见表3。(https://www.xing528.com)

表3　一级节点备选点

根据距离公式，分别计算distance（物流园区、备选点），即distance(Ai, Bj)，其中i=1…4，j=1…6。比较计算结果可知：min[dis(A1, Bj)]=dis(A1, B3)；min[dis(A2, Bj)]=dis(A2,B1)；min[dis(A3, Bj)]=dis(A3, B4)；min[dis(A4, Bj)]=dis(A4, B2)。即距离物流园区1、2、3、4最近的一级节点分别为3、1、4、2。

2. 选择二级节点

在地下货运量数据表和区域中心点坐标中剔除839, 840, 872, …, 886，890共16个区域点数据，重新聚类。

比较各聚类结果，这里以30～33结果的轮廓值为例进行比较（见图5）。

图5　二次K-means聚类轮廓值比较

不难看出，选择32组聚类结果是比较合适的。由此，得到一级节点4个、二级节点32个。相应地，做出二次聚类结果图像（见图6）。

图6　二次K-means聚类结果图

3. 与一级节点相连接的二级节点

一级节点除了直接服务地面的货物以外，仍有作为二级节点转运的功能要求。因此，应求出一级节点连接的二级节点。可以认为距离越近，成本越低，因此各二级节点对一级节点求距离，每个二级节点应“搜索”距自己最近的一级节点相连（见表4）。

表4　一级节点对应的二级节点

4.2.3 模型结果

1. 一二级节点点数和位置

一级节点4个（用A表示），二级节点32个（用B表示），节点坐标值见表5。

表5　一二级节点点数和位置

2. 各节点服务范围

（1）一级节点服务范围（见表6）。

表6　一级节点覆盖区域（服务区域）

（2）二级节点服务范围见表7，图7中“彩色”区域部分为二级区域服务范围。

表7　二级节点覆盖区域（服务区域）

图7　二级节点服务范围

3. 各节点实际货运量

根据节点服务的区域求取各节点实际货运量（进、出之和）。一级、二级节点货运量见表8、表9。

表8　一级节点实际货运量

表9　二级节点实际货运量

【补充】根据上述关系，因一级节点还有转运功能，仍可求一级节点吞吐量：一级节点实际货运量（进、出之和）分别为3 529.84 t, 3 723.36 t, 3 659.07 t, 3 738.04 t。一级节点对应的二级节点的货运量（进、出之和）分别为17 514.77 t, 12 308.82 t, 24 425.82 t,11 071.62 t。对应求和，得到一级节点吞吐量，见表10。

表10　一级节点实际货运量与吞吐量

4. 各一级节点转运率

根据OD数据表可知，四个物流园区的出货量分别为18 441.365 t, 18 168.524 t,17 912.878 t, 8 453.797 t。由转运率定义“一级节点的转运率（φ）指从物流园区经由最近的一级节点转运至其他所有一级节点的货物量占该物流园区总出货量的百分比，称为该一级节点的转运率。由于需要更换运输车辆，在满足运输要求前提下，转运率低可减少工作量”，物流园区转运至其他一级节点的货物量，即与该物流园区不属同一一级节点的货物总量。设某一物流园区的出货量为W，则φ=(W -W同区域)/W。

若采用均化处理的OD数据，那么有

（1）物流园区1转运率：

（2）物流园区2转运率：

（3）物流园区3转运率：

（4）物流园区4转运率：

若采用背包法处理的OD数据，那么有

（1）物流园区1转运率：

（2）物流园区2转运率：

（3）物流园区3转运率：

（4）物流园区4转运率：

【对比】在转运率方面，背包法处理的数据较比均化处理的结果更好，转运率更低。