灰色预测模型的其他应用-实用数学方法

GM(1, 1)模型适用于具有较强指数规律的序列，只能描述单调的变化过程，对于非单调的摆动发展序列或有饱和的S形序列，可以考虑建立GM(2, 1)、DGM(2, 1)和Verhulst模型。

1. GM（2, 1）模型

定义7 设原始数据序列为x(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x (0)(n))，其1-AGO与1-IAGO分别为

和

其中

x(1)的均值生成数列为

则称

为GM（2, 1）模型，称

为GM（2, 1）模型的白化方程。

令Y=[α(1)x(0)(2),α(1)x(0)(3),…,α(1)x (0)(n)]T ，u=[a1,a2,b]T ，

GM（2, 1）模型参数u=[a1,a2,b]T 的最小二乘估计为

2. DGM（2, 1）模型

定义8 设原始数据序列为x(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x (0)(n))，其1-AGO与1-IAGO分别为

为DGM(2, 1)模型，称

为DGM(2, 1)模型的白化方程。

令

还原得到原始数据序列的预测公式

3. Verhulst模型

定义9 设原始数据序列为x(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x (0)(n))，其1-AGO与均值生成数列分别为

为GM(1, 1)幂模型，称(www.xing528.com)

为GM(1, 1)幂模型的白化方程。

令

定义10 当α=2时，称

为灰色Verhulst模型，称

为灰色Verhulst模型的白化方程。

定理1

（1）Verhulst白化方程的解（时间响应函数）为

（2）灰色Verhulst模型的时间响应序列为

在实际中，常遇到原始数据本身呈S形的过程。这时，我们可以取原始数据为x(1)，其1-IAGO为x(0)，建立灰色Verhulst模型直接对x(1)进行模拟。

4. Verhulst模型预测实例

例3 建立某地区2008年1—10月注册的吸毒人数的灰色系统模型，并进行分析与预测见表9.1.7。

表9.1.7　某地区2008年1—10月注册的吸毒人数

解（1）设吸毒人数为原始序列记x(0)，累加人数为累加序列记x(1)。

（2）建立Verhulst模型。

（3）根据构造矩阵B和数量矩阵Y计算参数，得u的估计值为

（4）得到预测模型。

（5）模型检验。

Verhulst模型的MATLAB程序如下：