ARMA模型在实用数学方法中的应用

为使时间序列分析简洁和方便，我们引入一些常用的数学工具。

相距一期的两个序列值之间的减法运算称为1阶差分，记为∇xt =xt -xt -1。对{∇xt}再进行一次差分运算，称为2阶差分，记为∇2xt=∇xt-∇xt-1。依次类推，可以定义p阶差分为∇p xt =∇p-1xt -∇p-1xt-1。

相距k期的两个序列值之间的减法运算称为k步差分，记为∇k xt =xt -xt -k。

延迟算子类似一个时间指针，当前时间序列乘以一个延迟算子，相当于时间序列值的时间向后拨了一个时刻，记B为延迟算子，有B pxt=xt -p。

ARMA模型，是一类常用的拟合平稳时间序列模型，它不考虑以经济理论为依据的解释变量的作用，而是依据变量本身的变化规律，利用外推机制描述时间序列的变化，能达到最小方差意义下的最优预测，是一种精度较高的时序短期预测方法，但这也导致模型的系数很难直观解释。ARMA模型有三种基本类型：AR模型、MA模型及ARMA模型。

通常，由于系统惯性作用，时间序列往往存在前后依存关系，最简单的一种情形就是变量当前值主要取决于前p期取值，用数学模型来描述就是自回归模型。

定义1 具有如下结构的模型称为p阶自回归模型，简记为AR(p)：

式中：xt为时间序列；φi (i=1,2,…,p)为待估计的自回归系数；εt为误差项。

当φ0=0时，自回归模型（7.9）又称中心化AR(p)模型，简记为

实际上，式（7.13）成立就是要求AR(p)模型的p个特征根在单位圆内，所以AR(p)模型平稳的充要条件是它的p个特征根在单位圆内。由特征根和自回归系数多项式的根成倒数的关系可知，AR(p)模型平稳等价于它的自回归系数多项式的根都在单位圆外。

对于一个平稳的AR(p)模型，求出滞后k阶自相关系数ρk，实际上得到的并不是xt与xt -k 之间单纯的相关关系，这是因为xt同时还受到中间k-1个随机变量xt-1,…,xt -k +1的影响，而这k-1个随机变量又都和xt-k具有相关关系。为了单纯测出xt-k对xt的影响，引入偏相关系数概念。

定义2 对于平稳时间序列{xt}，所谓滞后k偏自相关系数（Partial Autocorrelation Function, PAF），指在给定k-1个随机变量xt-1,…,xt -k +1的条件下，xt-k对xt的影响，即

假定{xt}为中心化平稳时间序列，用过去k期序列值xt-1,…,xt -k+1,xt -k 对xt做k阶自回归拟合，即

这说明滞后k偏自相关系数实际上等于k阶自回归模型第k个回归系数kkφ的值。

在式（7.14）两边同乘以xt -l ,∀l ≥1，并求期望得

取前k个方程可得

该方程组称为Yule-Walker方程。根据线性方程组求解的Cramer法则，有(www.xing528.com)

其中

由Yule-Walker方程组最后一个方程

可知，自相关系数表达式实际上是一个p阶齐次差分方程，那么滞后k阶自相关系数的通解为

容易看出kρ始终有非零取值，不会在k大于某个常数之后就恒等于0，这个性质称为自相关系数的拖尾性。

可以证明样本偏自相关系数具有如下性质：

1. MA(q)模型具有常数均值和常数方差

2. 自协方差函数（自协方差函数）只与滞后阶数相关，且q阶截尾

3. 偏相关系数拖尾

从上面的分析可得出：

（1）当q＜∞时，MA(q)模型一定是平稳模型。

（2）MA(q)模型的偏相关系数拖尾，自相关系数q阶截尾.

定义4 具有如下结构的模型称为自回归移动平均模型，简记为ARMA(p,q).

若φ0=0时，该模型称为中心化ARMA(p,q)模型。缺省默认条件，中心化ARMA(p,q)模型可简写为

ARMA(p,q)模型是时间序列用它的当期和前期的随机误差项以及前期值的线性函数表示，引入延迟算子B，则ARMA(p,q)可简写为

当q=0时，ARMA(p,q)模型就退化成AR(p)模型；

当p=0时，ARMA(p,q)模型就退化成MA(q)模型。