实用数学方法：多项式回归

研究一个因变量与一个或多个自变量间多项式的回归分析方法，称为多项式回归。如果自变量只有一个时，称为一元多项式回归；如果自变量有多个时，称为多元多项式回归。多元多项式回归属于多元非线性回归问题，任何复杂的一元连续函数都可用高阶多项式近似表达。

在用回归分析方法做数据拟合时，很多情况下很难写出回归函数的解析表达式。如果因变量y与自变量x的关系为非线性的，但又找不到适当的函数曲线来拟合，此时可借助于多项式回归，根据已有的变量观测数据，构造出一个易于计算的多项式函数来描述变量间的不确定性关系。如果因变量y与自变量x的关系为非线性的，可以采用一元多项式回归。如果因变量y与自变量x1和x2的关系为非线性的，则可以采用二元多项式回归。

多项式回归的最大优点就是可以通过增加x的高次项对实测点进行逼近，直至满意为止。事实上，多项式回归可以处理一类非线性问题，它在回归分析中占有重要的地位，因为任一函数都可以分段用多项式来逼近。因此，在通常的实际问题中，不论依变量与其他自变量的关系如何，我们总可以用多项式回归来进行分析。

多项式回归问题可以通过变量转换化为多元线性回归问题来解决。

对于一元m次多项式回归方程，令

因此，用多元线性函数的回归方法可解决多项式回归问题。需要指出的是，在多项式回归分析中，检验回归系数是否显著，实质上是判断自变量x的因变量y的影响是否显著。(www.xing528.com)

对于二元二次多项式回归方程，令

则该二元二次多项式函数转化为五元线性回归方程：

随着自变量个数的增加，多元多项式回归分析的计算量急剧增加。

虽然多项式的阶数越高，回归方程与实际数据拟合程度越高，但阶数越高，回归计算过程中误差的积累也越大，所以当阶数n过高时，回归方程的精确度反而会降低，甚至得不到合理的结果，故一般取n为3～4。