实用数学方法中的样条插值

另一种对光滑性要求较高的插值方法是样条插值。实际上，许多工程技术中提出的计算问题对插值函数的光滑性都有较高要求，如飞机的机翼外形，内燃机的进、排气门的凸轮曲线，不仅要求插值函数连续，而且要有连续的曲率，这就导致了样条插值的产生。

1. 样条函数的概念

样条（Spline）是工程设计中使用的一种绘图工具，是富有弹性的细木条或细金属条。绘图员利用它把一些已知点连接成一条光滑曲线，并使连接点处有连续的曲率。样条插值就是由此抽象出来的。

给定区间[a,b]内的一个分划

如果函数S(x)满足：

（1）在每个小区间[xi ,xi +1](i=0,1,…,n-1)上S(x)是m次多项式；

（2）S(x)在[a,b]上具有m-1阶连续导数，

则称S(x)为关于分划Δ的m次样条函数，其图形为m次样条曲线。

显然，折线是一次样条曲线，对应的插值称为一次样条插值，但实际应用中常用的是三次样条插值。

2. 三次样条插值

取插值函数为样条函数，称为样条插值。三次样条本质上是一段一段的三次多项式拼合而成的曲线，在拼接处不仅函数是连续的，且一阶和二阶导数也是连续的。

已知函数y=f (x)在区间[a ,b]上的n+1个节点

上的值yi=f (xi )(i=0,1,…,n)，求插值函数S(x)，使得

（1）S (xi)=yi (i=0,1,…,n)； （5.1）(www.xing528.com)

（2）在每个小区间[xi ,xi +1](i=0,1,…,n -1)上S(x)是三次多项式，记为S i(x)；

（3）S(x)在[a ,b]上二阶连续可微。

函数S(x)称为f(x)的三次样条插值函数。

由条件（2），不妨记

其中：ai ,bi ,ci ,di为待定系数，共4n个。由条件（3）知

容易看出，式（5.1）、式（5.2）共含4 n-2个方程，为确定S(x)的4n个待定参数，尚需再给出2个条件。

常用的三次样条函数的边界条件有3种类型：

（1）S ′(a)=y 0′,S ′(b)=yn′。由这种边界条件建立的样条插值函数称为f(x)的完备三次样条插值函数。

（2）S ′(a)=y 0′,S ′(b )=yn′ 。特别地，y0′=yn′=0时，称为自然边界条件。

（3）S ′(a+0)=S ′(b -0)，S ′(a+0)=S ′(b -0)，此条件称为周期条件。

在数学中，光滑程度的定量描述是：函数（曲线）的k阶导数存在且连续，则称该曲线具有k阶光滑性．光滑性的阶次越高，则越光滑。是否存在较低次的分段多项式达到较高阶光滑性的方法？三次样条插值就是一个很好的例子。

综上，分段线性插值、拉格朗日插值、Hermite插值及三次样条插值都属于代数插值。对于代数插值来说，插值多项式的次数很高时，逼近效果往往很不理想。当n增大时，逼近的多项式函数在两端会发出激烈的振荡，这就是所谓的龙格现象。对于非代数插值以及三角多项式插值、有理分式插值等，限于篇幅不再赘述。