实用数学方法中的马尔萨斯模型

严格地讲，讨论人口问题所建立的模型应属于离散型模型。但在人口基数很大的情况下，突然增加或减少的只是单一的个体或少数几个个体，相对于全体数量而言，这种改变量是极其微小的，因此，我们可以近似地假设人口随时间连续变化甚至是可微的。这样，我们就可以采用微分方程的工具来研究这一问题。

最早研究人口问题的是英国的经济学家马尔萨斯（Malthus，1766—1834）。他根据百余年的人口资料，经过潜心研究，在1798年发表的《人口论》中首先提出了人口增长模型。

1. 模型假设

假设1：单位时间的人口总量增长与当时的人口总数成正比，且比例系数为常数r。

假设2：设t时刻的人口总数为x(t)，且x(t)连续可微。

2. 建模与求解

单位时间内人口的增长量为

根据基本假设，有(www.xing528.com)

令Δt→0，假设t=t0时的人口总数为x0，可得微分方程

这就是著名的马尔萨斯人口方程。若假设t=t0时的人口总数为0x，则不难求得该方程的特解为

即任一时刻的人口总数都遵循指数规律向上增长。

3. 模型评价

人们曾用式（4.2）对1700—1961年达二百六十年的世界人口资料进行检验，发现计算结果与人口的实际情况竟然惊人地吻合！

但是，利用式（4.2）对世界人口进行预测，结论也同样令人惊异，当t=2 670年时，x=4.4 ×1015，即4 400万亿人。显然，用此模型预测的结果远远高于实际人口数量，究其原因是对增长率r的估计过高，所以可以对“r是常数”的假设提出疑问。