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求解引力和水的侧压力

时间:2023-11-17 理论教育 版权反馈
【摘要】:【主要内容】1.引力面密度为ρ(x,y)的薄片D对不在D上的质量为m的质点A(x0,y0)的引力为其中,r=(x-x0)i+(y-y0)j,其模,G为引力常数.2.水的侧压力设D是与水面垂直的且位于水面之下的平板(见图附2),则D所受到的侧压力为其中,ρ是水的重度,f(x)为水深x处平板D的宽度,x1,x2分别为D中各点坐标的最小者与最大者.图附 2【典型例题】例附2.1 设有一质量为M、长为l的

求解引力和水的侧压力

【主要内容】

1.引力

面密度为ρxy)的薄片D对不在D上的质量为m的质点Ax0y0)的引力为

其中,r=(x-x0)i+(y-y0)j,其模978-7-111-46210-1-Part01-2255.jpgG为引力常数.

2.水的侧压力

D是与水面垂直的且位于水面之下的平板(见图附2),则D所受到的侧压力为

其中,ρ是水的重度,fx)为水深x处平板D的宽度,x1x2分别为D中各点坐标的最小者与最大者.

图附 2

【典型例题】

例附2.1 设有一质量为M、长为l的均匀杆AB,一质量为m的质点C位于AB的中垂线上,且与AB的距离为a.

(1)求杆AB对质点C的引力;

(2)当质点C在杆AB的中垂线上从点C移向y轴的正向无穷远处时,为克服引力所做的功有多大?

精解 (1)以AB中点为原点,杆AB所在的直线为x轴,AB的中垂线为y轴,建立坐标系,如图附2.1所示.在此坐标系下,用引力计算公式计算杆AB对质点C的引力.

图附 2.1

在图附2.1的坐标系下,C=(0,a),在AB上任取一点(x,0),则r=x-0)i+(0-a)j=xi-aj.其模978-7-111-46210-1-Part01-2259.jpgAB的密度978-7-111-46210-1-Part01-2260.jpg于是由引力计算公式可得杆AB对质点C的引力为

(2)由(1)的计算知,当质点C位于点(0,y)(ya)时为克服受到AB的引力必须施加力978-7-111-46210-1-Part01-2262.jpg,它使质点沿y轴移到+∞处时所做的功

图附 2.2

例附2.2 设一等腰梯形水闸,上底与下底长度分别为aba>b),上底与水面齐平,侧边与水面夹角为α978-7-111-46210-1-Part01-2266.jpg(见图附2.2),求此闸门所受的水压力.

精解 建立坐标系如图附2.2所示,利用公式(www.xing528.com)

(其中,ρ为水的重度,h为闸门高度,fx)为水深x处闸门的宽度)计算闸门所受的压力.由题设知闸门的高度978-7-111-46210-1-Part01-2268.jpg,并由图附2.2可见,在水深x处闸门的宽度978-7-111-46210-1-Part01-2269.jpg,所以闸门所受的水压力

图附 2.3

例附2.3 一铅直倒立的等腰三角形闸门,底边长为a m,高为h m,底边与水面齐平(如图附2.3所示).

(1)求水闸所受压力;

(2)求水平直线,它将水闸分成所受压力相等的上、下两部分.

精解 (1)建立如图附2.3所示的坐标系,利用公式978-7-111-46210-1-Part01-2272.jpg(其中ρ是水的重度,fx)为水深x处闸门的宽度)计算闸门所受的压力.

由图附2.3可知,水深x处闸门的宽度

所以,闸门所受压力为

(2)设所求水平直线距等腰三角形底边b m,则水闸在这条水平线以下部分所有压力P1

于是,由题设得978-7-111-46210-1-Part01-2277.jpg,即

978-7-111-46210-1-Part01-2279.jpg

解此方程得978-7-111-46210-1-Part01-2280.jpg

978-7-111-46210-1-Part01-2281.jpg具体求解如下:所给方程即为

4b3-6b2h+h3=0,

(4b3-2b2h-(4b2h-h3=0,

2b2(2b-h-h(2b-h)(2b+h=0,

(2b-h)(2b2-2bh-h2=0,

由此得到978-7-111-46210-1-Part01-2282.jpg978-7-111-46210-1-Part01-2283.jpg(不合题意,舍去).

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