【主要内容】
1.引力
面密度为ρ(x,y)的薄片D对不在D上的质量为m的质点A(x0,y0)的引力为
其中,r=(x-x0)i+(y-y0)j,其模,G为引力常数.
2.水的侧压力
设D是与水面垂直的且位于水面之下的平板(见图附2),则D所受到的侧压力为
其中,ρ是水的重度,f(x)为水深x处平板D的宽度,x1,x2分别为D中各点坐标的最小者与最大者.
图附 2
【典型例题】
例附2.1 设有一质量为M、长为l的均匀杆AB,一质量为m的质点C位于AB的中垂线上,且与AB的距离为a.
(1)求杆AB对质点C的引力;
(2)当质点C在杆AB的中垂线上从点C移向y轴的正向无穷远处时,为克服引力所做的功有多大?
精解 (1)以AB的中点为原点,杆AB所在的直线为x轴,AB的中垂线为y轴,建立坐标系,如图附2.1所示.在此坐标系下,用引力计算公式计算杆AB对质点C的引力.
图附 2.1
在图附2.1的坐标系下,C=(0,a),在AB上任取一点(x,0),则r=(x-0)i+(0-a)j=xi-aj.其模杆AB的密度于是由引力计算公式可得杆AB对质点C的引力为
(2)由(1)的计算知,当质点C位于点(0,y)(y≥a)时为克服受到AB的引力必须施加力,它使质点沿y轴移到+∞处时所做的功
图附 2.2
例附2.2 设一等腰梯形水闸,上底与下底长度分别为a,b(a>b),上底与水面齐平,侧边与水面夹角为α(见图附2.2),求此闸门所受的水压力.
精解 建立坐标系如图附2.2所示,利用公式(www.xing528.com)
(其中,ρ为水的重度,h为闸门高度,f(x)为水深x处闸门的宽度)计算闸门所受的压力.由题设知闸门的高度,并由图附2.2可见,在水深x处闸门的宽度,所以闸门所受的水压力
图附 2.3
例附2.3 一铅直倒立的等腰三角形闸门,底边长为a m,高为h m,底边与水面齐平(如图附2.3所示).
(1)求水闸所受压力;
(2)求水平直线,它将水闸分成所受压力相等的上、下两部分.
精解 (1)建立如图附2.3所示的坐标系,利用公式(其中ρ是水的重度,f(x)为水深x处闸门的宽度)计算闸门所受的压力.
由图附2.3可知,水深x处闸门的宽度
所以,闸门所受压力为
(2)设所求水平直线距等腰三角形底边b m,则水闸在这条水平线以下部分所有压力P1为
于是,由题设得,即
即
解此方程得
注具体求解如下:所给方程即为
4b3-6b2h+h3=0,
(4b3-2b2h)-(4b2h-h3)=0,
2b2(2b-h)-h(2b-h)(2b+h)=0,
(2b-h)(2b2-2bh-h2)=0,
由此得到,(不合题意,舍去).
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