二阶欧拉方程及解析-2015考研数学知识点解析

【主要内容】

形如x²y″+p₁xy′+p₂y=f（x）（其中p₁，p₂是常数，f（x）是已知函数）的微分方程称为二阶欧拉方程.

令x=e ^t，上述的欧拉方程转化为二阶常系数（齐次或非齐次）线性微分方程

然后在式（1）的通解中用t=ln x代入即得二阶欧拉方程的通解.

【典型例题】

例4.6.1 求微分方程x²y″-xy′+2y=xln x+x²的通解.

精解 所给微分方程是欧拉方程.令x=e ^t，则得

式（1）对应的齐次线性微分方程为

其特征方程r²-2r+2=0的根为1+i，1-i，所以式（2）的通解为

Y=e ^t（C₁ cos t+C₂ sin t）.

此外式（1）有特解

y∗=（a₀+a₁t）e ^t+be^2t，（3）将它代入式（1）得

[（a₀+a₁t）e ^t+be^2t]″-2[（a₀+a₁t）e ^t+be^2t]′+2[（a₀+a₁t）e ^t+be^2t]=te ^t+e^2t，即[（a₀+2a₁+a₁t）e ^t+4be^2t]-2[（a₀+a₁+a₁t）e ^t+2be^2t]+2[（a₀+a₁t）e ^t+be^2t]=te ^t+e^2t，化简后成为

（a₀+a₁t）e ^t+2be^2t=te ^t+e^2t.由此得到a₀=0，a₁=1， 将它们代入式（3）得

从而式（1）的通解为

将t=ln x代入上式得所给的欧拉方程的通解为(www.xing528.com)

例4.6.2 求微分方程（x+1）y″+y′=ln（x+1）的通解.

精解 所给微分方程可以改写成

（x+1）2 y″+（x+1）y′=（x+1）ln（x+1）.（1）显然，式（1）是二阶欧拉方程，令x+1=e ^t可将式（1）化为

解式（2）得

将t=ln（x+1）代入式（3）得所给微分方程的通解

y=[ln（x+1）-2]（x+1）+C₁ ln（x+1）+C2.

例4.6.3 求微分方程 的通解.

精解 所给微分方程是二阶欧拉方程，故令x=e ^t，则得

即

式（1）对应的齐次线性微分方程为

它的特征方程r²-1=0有根r=-1，1，从而式（2）的通解为

Y=C₁ e^-t+C_{2 e}^t.

此外，式（1）有特解y∗=Ate^-t.（3）将它代入式（1）得

（Ate^-t）″-Ate^-t=e^-t，即-2Ae^-t=e^-t，所以将它代入式（3）得因此式（1）的通解为

从而所给的欧拉方程的通解为