Maxwell2D仿真中的边界条件

在有限元数值计算中，最终求解的是矩阵方程，而边界条件则是该方程组的定解条件，即满足该方程的解有无数组，而满足方程又满足其边界条件的数值解有且仅有一组。边界条件的设定保证了方程组能被顺利解出，同时，边界条件顾名思义也就是模型各个边界上的已知量，可以是场量或其他可用来定解的物理量。

按照计算模型所需的求解器不同，主要可以分为6 大类：（1）静磁场；（2）涡流场；（3）瞬态磁场；（4）静电场；（5）交变电场；（6）直流传导电场。

通过点击快捷菜单上的按钮，可以快速建立一个Maxwell 2D 工程文件，自动弹出如图4-29所示的求解器选择窗口以供用户根据所计算的工况选择正确的有限元求解器。

图4-29　Maxwell 2D 工程求解器选择窗口

例如在静磁场中，单击菜单栏中的“Maxwell2D/Boundaries/Asign”，在Asign 下会提示如图4-30所示的可供选择的边界条件。

图4-30　二维静磁场边界条件

图4-30 中所列出的为几种边界条件，具体包括：矢量磁位边界条件、对称边界条件、气球边界条件、主边界条件和从边界条件，除此之外还有默认的自然边界条件。

1.自然边界条件（Default Boundary Conditions）

该边界条件无需用户自行定义，软件会在求解的时候自动添加到物体外边界。自然边界条件也称纽曼边界条件，可以用来描述两个相接触的物体，在接触面上，磁场强度H的切向分量和磁感应强度B 的法向分量保持连续。此外在引入表面电流密度后，仍可以保证H 的连续性。

2.狄里克莱边界条件（Vector Potential Boundary）

矢量磁位边界条件主要施加在求解域或计算模型的边线上，可以定义该边线上的所有点都满足以下两公式：

前者适用于XY 坐标系，而后者适用于RZ 坐标系。Const 为给定常数，AZ 和Aθ 分别为XY 坐标系下Z 方向上的矢量磁位和RZ 坐标系下θ 方向矢量磁位。

点击菜单栏中的“Maxwell2D/Boundaries/Asign/Vector Potential Boundary”，弹出狄里克莱边界条件定义对话框，如图4-31所示。其中在“Value”项内定义边界上的矢量磁位数值。

图4-31　静磁场狄里克莱边界条件

注意：当Const 常数等于0 时，描述的是磁力线平行于所给定的边界线，这在仿真理想磁绝缘情况时特别有用。

3.对称边界条件（Symmetry Boundary）

如果计算的模型具有对称性，则可以通过使用对称边界条件来达到缩小计算模型区域的目的。在对称边界条件中又分为奇对称边界条件和偶对称边界条件。点击菜单栏中的“Maxwell2D/Boundaries/Asign/Symmetry Boundary”，会出现如图4-32所示的对称边界条件定义对话框。

图4-32　静磁场对称边界条件

在选中奇边界条件（Odd）时，表示磁力线平行于边界条件，磁场的法向分量为0，仅有切向分量；偶边界条件（Even），描述的正好相反，其表示磁力线垂直于边界条件，磁场的切向分量为0，仅有法向分量。

通过使用对称边界条件，至少可以将计算区域缩小一半。

4.气球边界条件（Balloon Boundary）

在很多模型中，需要进行散磁或较远处磁场的数值计算，而绘制过大的求解区域则会无谓的增加计算成本，引入无穷远边界条件是一种非常理想的处理方法。Maxwell 将无穷远边界条件称之为气球边界条件，这样在绘制求解域范围时就可以不必将求解域绘制的过于庞大，从而可减小内存和CPU（中央处理器）等计算资源的开销。在施加气球边界条件的边线上，磁场既不垂直边线也不平行于边线。当所计算的模型过于磁饱和或专门要考察模型漏磁性能时，多采用气球边界条件。(www.xing528.com)

点击菜单栏中的“Maxwell2D/Boundaries/Asign/Balloon Boundary”项，弹出如图4-33所示的窗口，这里无需用户定义气球边界的参数，仅定义其边界名称即可。

5.主从边界条件（Master/Slave Boundary）

主从边界条件是由两类边界条件配合而成，即主边界条件和从边界条件，对应于其他商业软件中的周期边界条件。在使用时要先将模型的一条边定义为主边界，然后再设定另外一条边为从边界。该边界条件的引入可以将类似于旋转电机之类的几何模型简化，仅计算其中的一个极或一对极，从而减少所计算的数据量。

图4-33　静磁场气球边界条件

选中模型所要施加主边界的线段，点击“Maxwell2D/Boundaries/Asign/Master Boundary”选项，接着弹出如图4-34所示的主边界定义窗口。

其中“Name”项可以定义主边界的名称，而“Swap Direction”则可以修改主边界的箭头方向，默认方向是指向无穷远处，点击“Swap Direction”按钮后箭头方向指向圆心。

选中从边界条件所在的线段，点击菜单“Maxwell2D/Boundaries/Asign/Slave Boundary”选项可以定义从边界，接着会自动弹出如图4-35所示的从边界定义窗口。

图4-34　静磁场主边界条件

图4-35　静磁场从边界条件

“Name”项可以定义从边界的名称，“Master”项用来定义该从边界究竟与哪个主边界构成周期边界条件，“Relation”项包含两个选项，分别是：“Bs=Bm”项，即从边界条件与主边界条件对称；“Bs=-Bm”项，即从边界条件反对称于主边界条件。

图4-36 中所示为1/4 圆盘计算模型，两条最外侧半径分别可以定义为主、从边界条件，其中箭头所示方向可以由“Swap Direction”按钮进行更改。

图4-36　静磁场主从边界条件匹配

上述内容讲述的是静磁场的边界条件意义及其给定方法。

6.阻抗边界条件（Impedance Boundary）

在涡流场中也包含了上述常用的五种边界条件，除此之外，涡流场还有自身所特有的边界条件—— 阻抗边界条件。涡流场是用来分析固定频率正弦激励的似稳电磁场，因为正弦波作用磁场中导电部件会在其表层感应出涡电流，同时随着频率的增大，透入深度会逐渐减小。当透入深度较小，部件的集肤效应明显时，若准确计算则需要在表层进行极为细致的剖分层。阻抗边界条件就是用来考虑这个集肤效应，当透入深度与模型尺寸相比极小时，在表层划分过于细致的网格则会带来庞大的计算量，引入阻抗边界条件后，可以对透入深度进行忽略，将其等效为一条边界线。

阻抗边界条件对于高频或大尺寸模型，且还需要考虑集肤效应时特别有用，在涡流场中选定所要施加的边界线，同时点击菜单栏中的“Maxwell2D/Boundaries/Asign/Impedance Boundary”项，则会弹出如图4-37所示的阻抗边界定义窗口。

图4-37　涡流场阻抗边界条件

图4-37 中“Conductivity”项需要给出要施加阻抗边界条件物体的电导率。“Permeability”为材料的相对磁导率常数。通过这两个参数的定义，即可设定阻抗边界条件。阻抗边界条件并不计算感应涡流，仅是近似计算，若恰恰是对材料的集肤效应进行研究则不能采用这种近似等效的边界条件。

在瞬态磁场计算中，有自然边界条件、狄里克莱边界条件、对称边界条件、气球边界条件和主从边界条件，唯独没有涡流场中的阻抗边界条件。各种边界条件在瞬态磁场中的应用与静磁场一样，在此不做过多叙述。

在二维静电场中的边界条件有自然边界条件、对称边界条件、气球边界条件和主从边界条件。需要说明的是，在电场中的各个量已不再是磁感应强度B，而是电场强度E。例如自然边界条件在静磁场中描述的是B 的法向连续，而在静电场中描述的是E 的切向分量连续。其余的边界条件也与之类似，只是在求解中已不再是麦克斯韦方程中的磁分量。

二维交变电场与静磁场的边界条件内容相似，也是有自然边界条件、对称边界条件、气球边界条件和主从边界条件四类。